8.1二元一次方程组助学案
备助：
教学目标：
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：求二元一次方程的正整数解.
自助：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
＝总场数；（2） ＝总积分.
这两个条件可以用方程 ＝22
方程 ＝40 表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是 ，像这样的方程叫做 方程.
互助：
把两个方程合在一起，写成
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
求助：
探究：
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.
x
y
上表中哪对x、y的值还满足方程②
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 的解.
补助：
例1 （1）方程（a＋2）x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
（2）方程x∣a∣-1+(a-2)y=2是二元一次方程，试求a的值.
练习：教科书第94页练习
例2 若方程x2m-1+5y3n-2=7是二元一次方程.求m、n的值
例3 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1） 哪几对数值使方程 x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2） 哪几对数值是方程组 的解？
续助：
例4 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
8．2 消元（第一课时）助学案
备助：
教学目标：1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――"消元".
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
重点：用代入消元法解二元一次方程组.
难点：探索如何用代入法将"二元"转化为"一元"的消元过程.
自助：
一、知识回顾
1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？
2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？
二、提出问题，创设情境
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.
这个问题能用一元一次方程解决吗？
互助：
三、新课
1、那么怎样P97页例题1：从例题1的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？
归纳:基本思路： "消元"--把" "变为"一元"。
将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并代入 方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
求助：
3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3 （2）3x＋y－1＝0 （3）5x-3y = x + y (4)-4x+y = -2
补助：
4、例题分析：例1 例2
续助：
四、课堂小结
问题1、解方程组的基本思路是什么？
问题2、解方程组的方法是什么？
8．2 消元（第二课时）助学案
备助：
教学目标：1.用代入法、加减法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的"消元思想","化未知为已知"的化归思想.
教学重点：用代入法、加减法解二元一次方程组.
教学难点：会用二元一次方程组解决实际问题
自助：
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
二、 互助：
（一）提高问题，引发讨论
我们知道，对于 方程组 , 可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
求助：
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
解：由①＋②得x=18
把x= 代入①得y= ∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
补助：
用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
5.做一做
解方程组
分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
6.想一想
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些
续助：
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是"消元".
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化"二元"为"一元".
8.3 实际问题与二元一次方程组（一）助学案
备助：
教学目标：1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。
重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；
难点：正确发找出问题中的两个等量关系
自助：
一、复习
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
课本105页探究1
互助：
1题中有哪些已知量？哪些未知量？
2题中等量关系有哪些？
3如何解这个应用题？
本题的等量关系是（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
（2）（30+12只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940
求助：
1、某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？
2、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
补助：
1、某工厂第一车间比第二车间人数的 少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的 ，问这两车间原有多少人？
2、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
续助：
借助二元一次方程组解决简单的实际问题
8.3 实际问题与二元一次方程组（二）助学案
备助：
教学目标：通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方
程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点：寻找等量关系
自助：
看一看：课本106页探究2
问题：1"甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5"是什么意思？
2、"甲、乙两种作物的总产量比为3：4"是什么意思？
3、本题中有哪些等量关系？
提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
互助：
这块地还可以怎样分？
求助：
一、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入奖金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
补助：
题中有几个已知量？题中求什么？分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？
续助：
借助二元一次方程组解决简单的实际问题
8.3实际问题与二元一次方程组（三）助学案
备助：
教学目标：通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方
程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点：寻找等量关系
自助：
教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
互助：
例：甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
求助：
某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：
捐款数额
（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名）
初一年级 4000 2 4
初二年级 4200 3 3
初三年级 7400
（1） 求a、b的值。
（2） 初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。
补助：
某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1人～50人 51～100人 100人以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两个班分别有多少人？
续助：
借助二元一次方程组解决简单的实际问题
教材108页5、7。
8.4 三元一次方程组解法举例助学案
备助：
教学目标：1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
教学重点： （1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会"消元"的基本思想．
教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
自助：
前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？
互助：
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
提出问题：1．题目中有几个条件？2．问题中有几个未知量？3．根据等量关系你能列出方程组吗？
【列表分析】 （师生共同完成）
（三个量关系） 每张面值 × 张数 = 钱数
1元 x x
2元 y 2y
5元 z 5z
合 计 12 22
注 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
解：（学生叙述个人想法，教师板书）
设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张.
根据题意列方程组为：
【得出定义】 （师生共同总结概括）
这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
求助：
二、探究三元一次方程组的解法
【解法探究】怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)
例1 .解方程组
分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法"消x".
分析2：方程③是关于x的表达式，确定"消x"的目标.
补助：
【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用代入法.
针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组
类型二：缺某元，消某元.
教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将"三元"转化为"二元"目的，同学可以课下自行尝试一下.
续助：
1.解三元一次方程组的基本思路：通过"代入"或"加减"进行消元，把"三元"化为"二元"，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元.布置作业
1. 解方程组 你能有多少种方法求解它？
本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
2. 教材114页练习1（1），2；习题8.4-1.
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1第八章 二元一次方程组学案
班级: _________ 姓名：: _________
§8.1 二元一次方程组 （预习书P93—95）
预习重点难点
重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。
知识点一 二元一次方程
回顾：（1）什么叫方程？ （2）什么叫方程的解？
（3）什么叫解方程？ （4）什么叫一元一次方程？
二元一次方程的概念
我们来看一个问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
思考：（P93）
以上问题包含了哪些必须同时满足的条件 设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗
______场数＋______场数＝总场数； ______积分＋______积分＝总积分，
这两个条件可以用方程
x＋y=22，
2x＋y=40 表示。
观察：这两个方程有什么特点 与一元一次方程有什么不同
归纳：___________________________________________________叫做二元一次方程
注意：1.定义中未知数的项(单项式)的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1
2.二元一次方程的左边和右边都应是整式
3、二元一次方程的一般形式：ax + by + c = 0 （其中a≠0、b≠0 且a、b、c为常数）
注意：1.要判断一个方程是不是二元一次方程，一般先要把它化成二元一次方程的一般形式，再根据定义判断。
4、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程的解。
知识点二 二元一次方程组（你知道什么叫三元一次方程组吗 ）
__________________________________________________________叫做二元一次方程组。
知识点三 二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程组的解.即：二元一次方程组的两个方程的________解。
预习练习
（1）、判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（2）、已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。
① ②
③ ④
（3）、书上习题、联系册练习题选作
§8.2 消元——二元一次方程组的解法 （预习书P96—104）
预习重点与难点
重点：用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组．
难点：两种消元法的基本思想以及灵活运用．
知识点 消元思想
（书P 96思考）二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。
预习：P 97——P 98 例1、例2及思考
代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现_______，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做_________________，简称_________。
2、归纳总结用代入消元法解方程组的一般步骤：
从方程组中选一个系数____________的方程，将这个方程中的一个________，如y，用含x的代数式表示，即y=ax+b;
将y=ax+b代入________方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程；
解这个__________方程，求出x的值；
把求得x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到________的解。
3、预习练习
1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______；若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。
2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= ____________。
3、若的解，则a=______，b=_______。
4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。
5、用代人法解方程组①②，把____代人____，可以消去未知数______。
6、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。
7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0，则p=_____，q=________ 。
8、当k=______时，方程组的解中x与y的值相等。
9、用代入法解下列方程组:
⑴ ⑵ ⑶
预习：P 99——P 102 思考和例3、例4
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数_________或________时，把这两个方程的两边分别_______或_______，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做__________，简称_______。
归纳总结用加减消元法解方程组的一般步骤：
(1) 将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数______或_______的两个方程。
(2) 把这两个方程______或______，消去一个未知数。
(3) 解得到的___________方程。
(4) 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。
(5) 确定原方程组的解。
3、预习练习
1、方程组中，x的系数特点是______；方程组中，y的系数特点是________.这两个方程组用______法解比较方便。
2、用加减法解方程组时，①-②得___________.
3、解二元一次方程组有以下四种消元的方法：
⑴ 由①+②得2x=18； ⑵ 由①-②得-8y=-6；
⑶ 由①得x==6-4y③,将③代人②得6-4y+4y=12； ⑷ 由②得x=12-4y④，将④代人①得，12-4y-4y=6.其中正确的是_______________。
4、已知，则2xy的值是__________.
5、在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时，y=3；则k=______，b=_______.
6、已知，则=_________.
7、用加减法解下列方程组：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
归纳总结:
1、_______法和______法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过_____使方程组转化为________方程，只是_____的方法不同。当方程组中的某一个未知数的系数______时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数系数_______或______，用加减法较简便。应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。
2、二元一次方程组的解法，实质上是运用数学__________思想，把二元一次方程组转化为______________方程来解决的。具体转化的方法是运用“_____消元法”或“_____消元法”，达到把二元一次方程组中的“二个未知数”消去一个未知数，得到一元一次方程，实现了化“未知”为“已知”，进而解决的。
3、二元一次方程组的解法专项练习：
1、方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
2、已知二元一次方程3x+4y=6，当x、y互为相反数时，x=_____，y=______；当x、y相等时，x=______，y= _______ 。
3、若2ay+5b3x与-4a2xb2-4y是同类项，则a=______，b=_______。
4、对于关于x、y的方程y=kx+b，k比b大1，且当x=时，y=，则k、b的值分别是（ ）
A. B.2,1 C.-2,1 D.-1,0
5、若3a+2b=4，2a-b=5，则5a+b=__________.
6、已知，那么x-y的值是___________.
7、若（3x-2y+1）2+=0，则x=______，y=______.
8、已知方程mx+ny=10有两个解，分别是，则m=________，n=__________.
9、关于x、y的二元一次方程的解为_________.
10、已知，a≠0，则=__________.
11、如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-28=a的一个解，那么a的值是_________.
12、若2a+3b=4和3a-b=-5能同时成立，则a=_____，b=______
13、解下列方程组
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
（7） （8）
（9） （10）
（11）
6、如果（5a-7b+3）2+=0，求a与b的值。
7、已知2x2m-3n-7-3ym+3n+6=8是关于x,y的二元一次方程，求n2m
8、若方程组与有公共的解，求a，b.
10若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。
11、思考：⑴、已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程①中的a，得方程组的解为，而乙看错方程②中的b，得到方程组的解是，
请求a2008+（-b）2009的值.
⑵、解方程
§8.3 实际问题与二元一次方程组 （预习书P105—110）
预习重点难点
重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。
难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组。
预习内容：预习书P105—107 探究1----探究2----探究3
知识点 列方程组解决实际问题的基本思想
1、利用二元一次方程组解决实际问题的过程：
2、知识整合，体会把实际问题转化为数学方程组的过程，感受方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，问题转化思想。
列方程组解决实际问题的一般步骤：
⑴、_____________________________________ ⑵、_________________________________
⑶、_____________________________________ ⑷、_________________________________
⑸、_____________________________________ ⑹、_________________________________
⑺、_____________________________________
预习练习
书—P108 选作
2、练习册—P76至P84
⑴、和差倍分问题 ⑵、几何图形问题 ⑶ 、产品配套问题
⑷、盈亏问题 ⑸ 、工程问题 ⑹、增长率问题
⑺、数字问题 ⑻、行程问题 ⑼、浓度问题 ⑽、足球积分问题
3、练习题
⑴、一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？
⑵、已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底。
⑶ 、如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
⑷、运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
⑸ 、〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
⑹、（创新题）在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得，求a+b+c的值．
§8.3 三元一次方程组解法举例 （预习书P111—119）
知识点一 ___________________________________________________叫三元一次方程（组）。
预习：预习书P111—114 例1 、例2
练习：在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“√”，否则打“×”。
（1）2x+3y=12－z ( ) (2) xy－z=14 （ ）
（3） ( ) (4) ( )
知识点二 用消元法解三元一次方程组
二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化____元为_____元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？
例1、解方程组
解法一：（消x）
由②得 x=____________④
用④代入①消去x得：__________________⑤
用④代入③消去x得：__________________⑥
整理得
解以上二元一次方程组得:
把y、z的值代入④得x=________
解法二:(观察②缺z,考虑消z)
③－①得：__________④
解方程组
得x= ________y= __________
把上值代入 ①,得z=________
解法三：（先消去y行吗？）
①+②，得：________________④
③－②，得：_______________⑤
解方程组
解方程组得:
把x的值代入 ②得y=_________
归纳：1、一次方程组的思路也是先消元，但方法灵活，应选择简便方法。
2、三元一次方程组解法：____________________________________________________.
预习练习
1、解二元一次方程组:
2、书P114—115 选作
3、练习册P85—89
问题答案
实际问题
设求知数、列方程组
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
检验
转化
解方程组
加减法
代入法
（消元）
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18.1二元一次方程组
课型题目：学校_________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________ 授课人：__________ 授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 二元一次方程组 P 93-94
二、学习目标：1、认识二元一次方程和二元一次方程组；
2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
三、自学探究
1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程 ， 表示.
观察上面两个方程可看出，每个方程都含有 未知数（x和y），并且未知数的 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93）
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22 ①
2x＋y＝40 ②
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）
2、探究讨论：
x
y
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
思考：上表中哪对x、y的值还满足方程②
x=18
y=4
既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、自我检测
教材P94 练习
2、已知方程：①2x+=3；②5xy-1=0；③x2+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，
其中是二元一次方程的有___ ___．（填序号即可）
3、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是（ ）
A B C D
变式：其中是二元一次方程组解是( )
五、学习小结：
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？
（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？）
六、反馈检测
1、 方程（a＋2）x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、 b的取值范围.
2、 若方程是二元一次方程.求m 、n的值
3、 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
哪几对数值使方程x －y＝6的左、右两边的值相等？
哪几对数值是方程组 的解？
4、 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
8.2 消元----二元一次方程组的解法（一）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P96-97 消元----二元一次方程组的解法
二、学习目标：1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神
三、自学探究
1、复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
如果只设一个末知数：胜x场，负(22－x)场，列方程为： ，解得x= .
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x，负的场数是y， x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
2、思考：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22写成y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
3、归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 用代入法解方程组 x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
解后反思：(1)选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
(2)为什么能代？
(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
四、自我检测
教材P98练习 1、2
五、学习小结
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
六、反馈检测
1.已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝________.
2.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y =_________________，用含y的式子表示x，则x =________________
3．解方程组 HYPERLINK "http://" 把①代入②可得_______
4.若x、y互为相反数，且x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.
5．解方程组 y =3x－1 6 . 4x－y=5
2x＋4y=24 3(x－1)=2y－3
7.已知 是方程组 的解.求、的值.
8.2 消元----二元一次方程组的解法（二）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P97-98
二、学习目标：1、熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
三、自学探究：
复习旧知：解方程组
结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤
探究思考
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则（列出方程组为）：
思考讨论：
问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
问题2：能用代入法来解吗？
问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
写出解方程组过程：
质疑：解这个方程组时，可以先消去X吗？试一试。
反思：
（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。
(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答．
四、自我检测：
1、用代入法解下列方程组．
（1） （2）(有简单方法！)
2、教材P98 3、4
五、学习小结：
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
六、反馈检测：
1、将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y= ；化成用含有y的式子表示x的形式是x= 。
2、已知方程组：,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
3、用代入法解方程组：
（1） （2）
4、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则x= ，y=
8.2 消元----二元一次方程组的解法（三）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P99-100 加减消元
二、学习目标：1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心．
三、自学探究：
1、复习旧知
解方程组 有没有其它方法来解呢？
2、思考：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得 - =40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去未知数y，得 - =22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
3、探究 想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
这两个方程中未知数y的系数 ，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
4、归纳：加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、拓展应用：
用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
①×3,得 9x+12y=48 ③
②×2,得 10x-12y=66 ④
这时候y的系数互为相反数，③＋④就可以消去y，
思考：用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
四、自我检测：
教材p102 练习1 1）、2）、3）、4）
五、学习小结：
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？
六、反馈检测：
1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．毛
2．已知方程组 ，，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1) 消元方法___________．
(2) 消元方法_____________．
4、解方程组
5、已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．
6、（选做题）
8.2 消元----二元一次方程组的解法（四）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P101-102
二、学习目标：1、熟练掌握加减消元法；2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性
三、自学探究：
1、复习旧知：
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2、选择最合适的解法解下列方程
（1） （2） （3）
3、探究新知
教材p101例4 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
问题1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
（找出两个等量关系）
问题2.你能找出本题的等量关系吗？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8
问题3.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？
设1台大收割机1小时收割小麦x公顷，则
2台大收割机1小时收割小麦＿公顷，
2台大收割机2小时收割小麦＿公顷．
现在你能列出方程了吗？并解出方程。
4、上面解方程组的过程可以用下面的框图表示
四、自我检测： 教材p102 练习 2、3
五、学习小结：
1、先分析方程特点，选择最适合的方法来解方程
2、这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能
六、反馈检测：
1、解方程组
2、已知方程组的解是，则m=________，n=________．
3、王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元
4、一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路
5、（选做）若方程组的解满足x+y=12，求m的值
8.3实际问题与二元一次方程组（一）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P105
二、学习目标：1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2、通过应用题进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3、体会列方程组比列一元一次方程容易
三、自学探究：
1、复习旧知：
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
2、探究：课本105页探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？
2） 题中等量关系有哪些？
3）如何解这个应用题？
本题的等量关系是：
解：设平均每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据题意列方程组，得
解这个方程组得
每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为＿＿＿和＿＿＿，饲料员李大叔估计每天大牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入
3、归纳：
四、自我检测：
教村p108 习题 1、2、3
五、学习小结：
通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
①设未知数．
②找相等关系．
③列方程组．
④检验并作答．
六、反馈检测
1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为
2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为
3、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
8.3实际问题与二元一次方程组（二）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材课题 P106
二、学习目标：
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析
三、自学探究
1、复习旧知
1）长方形的面积公式？当宽相同时，面积比等于-------------，
当长相同时，面积比等于 ---------------
2）回顾列方程解决实际问题的基本思路？
2、探究：
教材p106 探究2：根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200 m，宽100 m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？
思考：1、“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？
本题中有哪些等量关系？
解设_____________________________________________，
列方程组：
解这个方程组，得
答：
四、自我检测
教材p108 4、5
五、学习小结：
通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
六、反馈检测
1、若两个数的和是187,这两个数的比是6:5,则这两个数分别是___________.
2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)七年级人数是多少 原计划租用45座客车多少辆 (2)要使每个同学都有座位,怎样租车更合算
8.3实际问题与二元一次方程组（三）
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
学习内容：教材课题 P106-107
学习目标：
1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；
3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值
三、自学探究
1、小试牛刀：
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时。．28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
2、探究：
教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
设问1.如何设未知数？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．
设问2.如何确定题中数量关系？
列表分析
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
由上表可列方程组
解这个方程组，得
毛利润=销售款－原料费－运输费
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________________元．
四、自我检测
教材p108 6、8、9
五、学习小结：
1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．
六、反馈检测
1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 4 5 28.5
第2次 3 6 27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？
2、某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？
3、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1人～50人 51～100人 100人以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两个班分别有多少人？
4、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
8、4三元一次方程组解法举例
课型题目：学校__________学年度__________课型学案
主备人： 审核人：__________授课人：__________授课时间：__________
一、学习内容：教材p111-113 8、4三元一次方程组解法举例
二、学习目标：1、了解三元一次方程组的定义；
2、掌握三元一次方程组的解法；
3、进一步体会消元转化思想．
三、自学探究：
1．复习 ( http: / / www.teachercn.com / Xxyw / Fx / " \t "_blank )导入
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
2、探究：
甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系 你能根据题意列出几个方程？
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
思考：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
有几种解法？
3、归纳：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即
消元 消元
问题1：解三元一次方程组
问题2 在等式中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a、b、c的值．
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
四、自我检测
教材p114 练习1、2
五、学习小结
三元一次方程组的解法；
2、解多元方程组的思路――消元
3、解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
4、注意检验
六、反馈检测
教材p 114-115 习题8、4
实际问题与二元一次方程组分类练习
知能点1 销售和利润问题
1．某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为_____，标价为_______．
2．某种彩电原价是1 998元，若价格上涨x%，那么彩电的新价格是______元；若价格下降y%，那么彩电的新价格是_______元．
3．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．17
4．在我国股市交易中，每买一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海股票1 000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者的实际赢利为（ ）．
A．2 000元 B．1 925元 C．1 835元 D．1 910元
5．某商场欲购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率是20%，乙种商品每件进价为20元，利润率是15%，共获利278元，则甲、乙两种商品各购进多少件？
◆知能点2 利率、利税问题
6．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲、乙两种存款的年利率分别为1.4%和3.7%，该公司一年共得利息（不计利息税）6 250元，则甲种存款______， 乙种存款______．
7．某人以两种形式一共存入银行8 000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为8%，一年共得利息860元，若设甲种存入x元，乙种存入y元，根据题意列方程组，得_________．
8．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2．25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）．
A．x=15，y=20 B．x=12，y=23 C．x=20，y=15 D．x=23，y=12
◆开放探索创新
9．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
◆中考真题实战
10．（重庆）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5 000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样2005年秋季将新增1 160名农民工子女在主城区中小学学习．如果按小学生每年的“借读费”500元，中学生每年的“借读费”1000元计算，求2005年新增的1 160名中小学生共免收多少“借读费”．
11．（南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分，则两种型号信封的单价各是多少元？
知能点1 行程问题
1．甲、乙两人相距45km，甲的速度是7km/h，乙的速度为3km/h，两人同时出发，（1）若同向而行，甲追上乙需_______h；（2）若相向而行，甲、乙需______h相遇；（3）若同向而行，乙先走1h，甲再追乙，经过______h甲可追上乙．
2．两人在400m的圆形跑道上练习赛跑，方向相反时每32s相遇一次，方向相同时每3min相遇一次，若设两人速度分别为x（m/s）和y（m/s）（x>y），则由题意列出方程组为_________．
3．A，B两地相距20km，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经过2h相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，则两人的速度分别为________．
4．一只船在一条河上的顺流速度是逆流速度的3倍，则这只船在静水中的速度与水流速度之比为：_________．
5．已知某铁路桥长800m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s，整列火车完全在桥上的时间是35s，求火车的速度和长度．
知能点2 配套问题
6．张阿姨要把若干个苹果分给小朋友们吃，若每人2个，则多1个；若每人3个，则缺2个，苹果有_______个，小朋友有_______个．
7．两台拖拉机共运水泥35t，其中一台比另一台多运7t，则这两台拖拉机分别运送了水泥_______t和_________t．
8．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的小长方形，则每个小长方形的面积为（ ）．
A．30 B．20 C．10 D．14
9．一个长方形周长为30，若它的长减少2，宽增加3，就变成了一个正方形，设该长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）．
10．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
◆规律方法应用
11．用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？
12．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲货车辆数（单位：辆） 2 5
乙货车辆数（单位：辆） 3 6
累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，则货主应付运费多少元？
◆开放探索创新
13．小颖在拼图时发现8个一样大小的矩形，恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示．小彬看见了，说：“我来试一试”．结果小彬七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形．中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形．
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
◆中考真题实战
14．（长沙）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
x－y＝6
2x＋31y＝－11
①②
①②
①②
①②
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
代入、加减
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）组）
设未知数
列方程组
①
②
③
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
①
②
③第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
基础知识
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2、若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是( )
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
3、已知x,y的值：① ② ③ ④其中是二元一次方程2x-y=4的解的是( )
A、① B、② C、③ D、④
4、二元一次方程x+2y=12在正整数范围内的解有( )组.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数
5、在二元一次方程3x - 2y =4中，当x =6时，y =_______
6、写出二元一次方程3x-4=y的两个解______________________。
7、已知方程8x-7y=10，用含x的式子表示y，则y=_______.
8、已知是方程2x-my=3的一个解，则m=___________.
9、如图，设∠1=x°,∠2=y°,且∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则可列方程组为_________________。
能力提升
10、小敏在商店买了12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支x元，练习本每本y元，共花了4.9元.
(1)列出关于x,y的二元一次方程；
(2)已知再买同样的6支铅笔和同样的2本练习本，还需要2.2元，列出关于x,y的二元一次方程.
11、已知是关于x,y的二元一次方程组的解，求a,b的值.
12、已知方程是二元一次方程，求m,n的值.
13、已知二元一次方程5x+3y=22.
(1)填表：
x 1 2 3 4 5
y
(2)求出方程的非负整数解.
14、已知甲种物品每个重4kg,乙种物品每个重7kg,现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg.
(1)列出关于x,y的二元一次方程；
(2)若x=12，则y=________；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有______个；
(4)请你用含x的代数式表示y，然后再写出满足条件的x,y的全部整数解.
探索研究
15、有这样一道题目：判断是否是二元一次方程组的解.小强的解答过程是：将代入方程x+2y=5中，等式成立，所以是方程组的解.小华的解答过程是：将代入方程x+2y=5和2x+3y=5中，得x+2y=5而2x+3y≠5，∴不是方程组的解.你认为谁的解答正确？
8.2 消元----二元一次方程组的解法
第1课时
基础知识
1、方程组的解是( )
A. B. C. D.
2、下列二元一次方程组以为解的是
A. B.
C. D.
3、将方程5x-2y+12=0写成用含x的代数式表示y的形式_________.
4、用代入消元法解方程组可以由____得_______(3)，把(3)代入__________中，得一元一次方程___________________，解得_________，再把求得的值代入(3)中，求得_________，从而得到原方程组的解为______________.
5、用代入法解下列方程组：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
能力提升
6、已知和是同类项，求m,n的值.
7、如果，求的值.
探索研究
8、已知方程组的解为而小明粗心地把c看错了，解得请你求出正确的a,b,c的值.
第2课时
基础知识
1、方程组中，x的系数的特点是 ________，方程组中y的系数特点是 __________，这两个方程组用______法解较简便。
2、方程组若用加减消元法解，可将方程(1)变形为______________(3)，这时方程(2)与(3)相_____，消去未知数____，
得到一元一次方程.
3、用加减消元法解下列方程组：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
能力提升
4、方程组的解为则由可以得出x+y =_____,x-y =_____,从而求得
5、用简便方法解方程组
探索研究
6、已知方程组与有相同的解,求m,n的值。
第3课时
基础知识
1、若4x-3y=0且x≠0，y≠0,则的值为 ( )
A. B. 31 C. - D. 32
2、用加减消元法解方程组的解法如下：
解：(1)①×2，②×3得
(2)③－④，得y＝-5；
(3)把y=-5代入②，得x=11；
(4)所以原方程组的解是
解题的过程中，开始错的一步是( ).
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
3、用代入法解方程组下列解法中最简便的是( ).
A、由①得x =代入② B、由①得y =代入②
B、由②得x =8－3y代入① D、由②得y =代入①
4、若一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是_______________.
5、若2x＋3y－1=y－x－8=x＋6,则2x－y =________.
6、已知则x－y 的值是 _____.
7. 若，则y＝____,x＝____，2y－x=______.
8、用适当的方法解下列方程组：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
能力提升
9、解方程组
10、已知和是关于x,y的二元一次方程2ax－by=2的两个解，求a＋b的值.
探索研究
11、如果满足二元一次方程组求的值.
12、如果方程组的解满足x+y=12,求m的值.
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时
基础知识
1.班上有男女同学共32人，女生人数的一半比男生人数少10人，若设男生人数为x，女生人数为y,则可列方程组为_____________.
2.一根木棒长8m,分成两段，其中一段比另一段长1m,求这两段的长时，设其中一段为xm，另一段长为ym,那么可列二元一次方程组为_______________.
3.一个矩形的周长为20cm,且长比宽长2cm,则矩形的长为____cm,宽为______cm.
＊能力提升
4.小华有中国邮票和外国邮票共325枚，中国邮票的枚数比外国邮票的枚数的2倍少2枚，小华有中国邮票和外国邮票名多少枚？
5.学校有篮球和足球，其中篮球数比足球数的2倍少3个，且篮球数与足球数的比为3∶2，求学校有篮球和足球各多少个？
6.某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的，问这两个车间原有多少人？
7.有大小两种货车，3辆大车与2辆小车一次可以运货17吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.2辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
8.某商场搞优惠促销活动，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，甲、乙两种商品原价之和为500元，问甲、乙两种商品原价各是多少钱？
探索研究
9.七（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李波去商店购买奖品，下面是李波与售货员的对话：
李 波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李 波：我只有100元，请帮助我安排买10支铅笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请你清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
第2课时
基础知识
1、七年级学生在会议室开会，每排座位从12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是（ ）
A、14 B、13 C、12 D、15
2.已知方程y=kx+b的两组解是则k=___,b=____.
3.某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资，一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y的满足的方程为_______________________.
4.学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，则可列方程组__________.
方程组的解为_______.
＊能力提升
5.某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求。已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元.若该商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完。请你帮助该商场计算一下如何购买。
6、某商场购进甲、乙两种服装，都加价40%后出售。春节其间商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售。某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，甲、乙两种服装标价之和为210元，问甲、乙两种服装的进价和标价各是多少钱？
7、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。随身听和书包单价之和为452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少钱？
（2）某天该同学上街，恰好赶上超市搞促销活动，超市A所有商品打八销售，超市B全场购满100元返购物券20元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
8．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为他们喜爱的足球队加油助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆可乘8人，另一种是每辆可乘4人，要求租用的车子不留空位，也不超载。
（1）请你给出不同的租车方案（至少三种）；
（2）若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。
探索研究
9．一个三位数是一个两位数的5倍。如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？
第3课时
基础知识
1．木工厂有28个工人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10把椅子，现在如何安排劳动力，使生产的1张桌子与4把椅子配套？
2．一张圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1木材可以制作300条腿或制作凳面50个。现有9的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4．为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池。第一天收集1呈电池4节，5号电池5节，总重量为460g;第二天收集1呈电池2节，5号电池3节，总重量为240g.试问1号电池和5号电池分别重多少克？
能力提升
5、某公司往灾区运两批货物，第一批共运480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完。求每节火车车厢和每辆汽车各装多少吨货物？
6．某山区有23名中、小学生因贫困而失学，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积极捐款，中学各年级学生捐款数额与用其资助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 7400
(1)求a,b的值;
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，请将九年级学生可资助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不心写出计算过程）.
7．某公园的门票价格如下表所示：
购票人数/人 1～50 51～100 ＞100
票价/(元/人) 10 8 5
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人.如果以班为单位分别买票，两个班一共付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共付515元.问：甲、乙两个班各有多少人？
探索研究
8．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，如图（1）所示，恰好可以拼成一个大的矩形.
小红看见了，说“我来试一试，”结果小红一拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，中间恰好是2mm的小正方形.你能帮她解开其中的奥秘吗？(提示：能求出小长方形的长和宽吗？)
8.4 三元一次方程组解法举例
基础知识
1、运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x-2y+4z=11再解
2、方程组的解有______个。
3、已知x=3+t,y=3-t,那么用x的代数式表示y为____.
4、已知t满足方程组则x与y之间满足的关系是y=_____.
5、若(m+1)x++z=4是三元一次方程，则m=____.
6、解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
能力提升
7．已知x,y,z满足.求x,y,z的值.
8．已知x+4y+z=24,2x+7y+2z=41,求x+y+z的值.
9．已知关于x,y的方程组满足方程x+y=3,求k的值.
＊探索研究
10．李红在做这样一个题目：在等式y=a+bx+c中，当x=1时，y=6;当x=2时，y=21;当x=-1时，y=0;当x=-2时，y等于多少？她想，在求y值之前应先求a,b,c的值，你认为她的想法对吗？请你帮她求出a,b,c的值吧！
11．如图,是一个有三条边的算法图,每个□里有一个数,这个数等于它所在边的两个○里的数之和,请求出这三个○里应填入的数.
