4.2指数函数学习 同步学案

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指数函数学习同步学案
一．学习目标
在前面学习的函数基本性质的基础上，继续通过具体函数为例，说明函数的性质在解题过程中的运用。
①理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法；
②能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质；
③掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小；
④通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题。
二．基础知识
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是__R__；
理解：
(1)为什么指数函数的底数？
①如果，当时，恒等于0，没有研究的必要；当时，无意义．
②如果，对于某些自变量的取值函数无意义．
③如果，则是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定
(2)指数函数的解析式有什么特征？
①；②的系数为1；③自变量的系数为1.
2．指数型函数模型
形如的函数是指数型函数模型．
理解：
设原有量为，每次的增长量为，经过次增长，该量增长到，则：．
3．指数函数的图像与性质
图象
定义域 __R__
值域 ___
性质 过定点，即时，
在R上是减函数 在R上是增函数
(1)当时，恒成立，即指数函数的图象一定过点．
(2)
底数 的范围 的范围
三．思维辨析
1.下列函数中一定是指数函数的是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数是指数函数，且，则 。
3.按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息，5年后支取，本利和为人民币(　　)
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
4.下列说法正确的个数是(　　)
(1)指数函数的图象都在轴的上方．
(2)若指数函数是减函数，则.
(3)对于任意的，一定有.
A．0 B．1 C．2 D．3
5.函数在R上是(　　)
A．增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数
6.函数的图象是(　　)
7.函数，的值域是(　　)
A． B． C． D．
四．典例分析与性质总结
题型1：指数函数的概念
例1：(1)下列以为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)
A． B． C． D．
(2)若是指数函数，则有(　　)
A．或2 B． C． D．
总结：判断一个函数是否为指数函数的方法
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合这一结构形式，即需要满足：①；②的系数为1；③自变量的系数为1。
题型2：指数函数解析式
例2：(1)指数函数的图象经过点，则____.
(2)指数函数的图象经过点，那么____.
总结：求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为．
(2)利用已知条件求底数.
(3)写出指数函数的解析式．
题型3：指数型函数的实际应用
例3：1.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)
A．元 B．元 C．元 D．元
2.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过__ __小时后才可以驾驶机动车．(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
总结：关于指数型函数模型
设原有量为，每次的增长（降低）量为，经过次增长（衰减），该量增长（减少）到，则：
题型4：指数函数的图象
例4：如图所示是下列指数函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4).
则与1的大小关系是 。
A．　　 B．
C． D．
总结：指数函数图象的变化规律
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
题型5：与指数函数有关的定义域、值域问题
例5：求下列函数的定义域和值域：
(1)； (2) (3)
总结：
1.函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数在区间上是增函数，则，值域为．
(2)若函数在区间上是减函数，则，值域为．
2．函数定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数的定义域与的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令；②求的定义域；③求的值域；④利用的单调性求()的值域．
题型6：幂式的比较大小
例6：比较下列各题中两个值的大小
(1)、 (2)、 3)、 (4)、
总结：
比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．
题型7：指数型函数的单调性
例7：讨论函数的单调性
总结：
(1)关于指数型函数的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性，它由两个函数，复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查和的单调性，求出单调性．
题型8：指数型复合函数的奇偶性
例8：设函数是定义在R上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式的解集．
五．变式演练与提高
1.下列函数中是指数函数的是(　D　)
A． B． C． D．
2.已知某种产品的生产成本每年降低25%，若该产品2017年底的生产成本为6 400元/件，那么2020年底的生产成本为____元/件．
3.如图所示是指数函数的图象，已知的值取，则相应曲线的依次为(　　)
A． B． C． D．
4.求的定义域和值域
5.比较下列每组中两个数的大小：
(1)、 (2)、 3)、 (4)、
6.求函数的定义域、值域、单调区间．
7.是偶函数，则(　C　)
A．1 B． C． D．2
六．反思总结
1.比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如的函数的定义域就是的定义域．
求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若的范围不确定，则需对进行讨论．
求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令，，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
七．课后作业
1.下列函数中，是指数函数的是(　D　)
A． B．
C． D．
2.若指数函数的图象过点，则的解析式为( 　)
A． B． C． D．
3.指数函数的图象经过点，则____.
4.若函数是指数函数，则___，____.
5.若函数的图象不经过第二象限，则有(　D　)
A．且 B．且 C．且 D．且
6.若函数是R上的减函数，则实数的取值范围是(　C　)
A． B． C． D．
7.函数的图象必经过点(　D　)
A． B． C． D．
8.已知函数为指数函数，且，则 .
9.函数的值域是__.
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.解析
只有符合指数函数的概念，其他选项中函数都不符合的形式，故
选C。
2.解析　
设，
由得，∴或(舍去)．
∴
3.解析　
依照指数增长模型，存款本息和的计算可以使用指数函数模型，故选B.
4.解析　
对于(1)，由指数函数的性质可知正确．
对于(2)，由指数函数的单调性可知正确．
对于(3)，由，的图象可知，当时，，故(3)不正确，故选C.
6.解析　
函数过点，且在R上是减函数，故选B．
7.解析　
∵，∴，
∴，故选B．
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
(1)函数的底数，故A中函数不是指数函数；
函数的系数为1，底数，故B中函数是指数函数；
函数的系数为，故C中函数不是指数函数；
函数的系数为，故D中函数不是指数函数，故选B．
(2)由题意，得；解得，故选C．
例2：解析：
(1)设，则，
∴.
(2)设，则，∴.
∴，∴.
例3：解析：
1.由题意知，2021年底该地区农民人均收入为，故选B．
2.设小时后才可以驾车，据题意得
，∴，∴，
即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B．
例4：解析：
[分析]　根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．
可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较的大小，由(1)(2)比较的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近轴，故选B．
例5：解析：
[分析]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．
(1)由题意知，所以，所以函数的定义域为；
因为，所以，所以函数的值域为．
(2)由题意知函数的定义域为,是减函数；
因为，所以，所以函数的值域为．
(3)由题意知，所以，所以，所以函数的定义域为．
因为关于单调递增，所以函数的值域为．
例6：解析：
(1)∵、可看作函数的两个函数值，
∵在R上为增函数，∴.
(2)∵在R上为减函数，∴
(3)∵，
∴
(4)∵ ∴
∵在R上为减函数，∴；故而
例7：解析：
[分析]此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．
[解析]∵函数的定义域为R，令，则.
∵在上是减函数，在其定义域内是减函数，
∴函数在内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在上是增函数．
∴函数在上是减函数。
例8：解析：
[解析]　(1)方法一：∵是定义在R上的奇函数，∴，即，∴.
当时，，，
故符合题意．
方法二：∵，又是奇函数，∴在定义域上恒成立，
∴，解得.
(2)∵，又，∴.
∴，都是R上的增函数，∴是R上的增函数．
故
.
∴在R上单调递增，且不等式的解集为．
（五．变式演练与提高）
1.解析：D
由指数函数定义可知，函数是指数函数，故选D．
2.解析：
2020年底生产成本元。
3.解析：
按照指数图像与底的大小规律，的底数依次增大，故选D．
4.解析：
由，得，所以定义域为．
当时，，所以的值域为
5.解析：
(1)考查指数函数，
∵指数函数在上是增函数．
∴.
(2)∵在上为减函数，
∴
(3)由指数函数的性质得，
∴
（4）∵
是减函数，
∴
另解：可以在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象，如图所示，当时，观察图象可得。
6.解析：
函数的定义域为；令，则.
∵在上是减函数，而在其定义域内是增函数，
∴函数在上为减函数．又∵在上为增函数，而在其定义域内是增函数，∴函数在为增函数．
∵，而在其定义域内是增函数，∴，∴函数的值域为
7.解析：
依题意，对一切，有，
即
∴对一切成立，
则，∴.
（七．课后作业）
1.解析：
依照指数函数的定义，只有选项D满足（）的形式，其他选项均不符合。
答案：D
2.解析：
设函数，由，得；所以
所以选B。
3.解析：
设，
由题意，得，∴.
∴，∴
4.解析：
根据指数函数的定义，得，解得.
5.解析：
由函数图象不过第二象限知，且时，，∴，故选D．
6.解析：
由已知，得，则，所以实数的取值范围是
7.解析：
令，即，，故选D
8.解析：
设，
∴；，
∴，∴
9.解析：
∵在上为增函数，
∴值域为
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