江苏省泰州市泰州一中2021届高三上学期数学周练（五） Word版含答案

泰州一中2020届第一学期高三周练（5）
数学试题
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
球的体积公式：V＝πR3，其中R为球体的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数z满足(z－2)i＝1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模为 ▲ ．
2．某算法的流程图如图所示，则输出的n的值为 ▲ ．
3．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x的值为 ▲ ．
4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ ．
5.不等式的解集为 ▲ ．
6．把一个底面半径为3 cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm．
7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．若函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω＞0)的最小正周期为π，则当x∈[0，]时，f(x)的值域为 ▲ ．
9．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若存在正整数k，使得对任意n∈N*，都有Sn≤Sk恒成立，则k的值为 ▲ ．
10．已知函数f (x)＝，则不等式f (x－3)＋f (2x)＞0的解集为 ▲ ．
11．已知正实数x,y满足，则的最小值是 ▲ ．
12.在平面直角坐标系中，已知是圆上的两个动点，且，则的取值范围为 ▲ .
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y－2a)2＝4，圆N：(x－2)2＋(y＋1)2＝4．若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为 ▲ ．
14. 已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝x2－x， x≤0．))若函数y＝g[f(x)]－a有6个零点（互不相同），则实数a的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若cosC＝,5)，求sin(A－C)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，E，F分别为AB，A1B1的中点．
（1）求证：AF∥平面B1CE；
（2）若A1B1⊥B1C，求证：B1E⊥AB．
17．（本小题满分14分）
随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：
p(t)＝其中t∈N．
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值；
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q＝－100（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点(，3e)和(b，e)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点C是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线BC，AC分别交于点P，Q，求证：·为定值．

19．（本小题满分16分）
已知函数f (x)＝2lnx＋ax2－bx，a，b∈R．
（1）若曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，求实数a，b的值；
（2）若a＝0，且f (x)≤－2对一切正实数x恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若b＝4，求函数f (x)的单调区间．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，且数列{}是以为公差的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2nan，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Tn，
①求证：数列{}为等比数列；
②若存在整数m，n(m＞n＞1)，使得＝，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值.
高三数学周练12.28
数学参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1． 2．4 3．0.018 4． 5.
6．3 7． 8．[－1，2] 9．20 . 10．(1，＋∞)
11． 15 12． 13．[－2，2] 14．(，2)
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．解：（1）因为asin2B＝bsinA，
由正弦定理 ＝ 得 2sinAsinBcosB＝sinBsinA． ………………… 3分
因为A，B为△ABC的内角，所以sinA≠0，sinB≠0，
所以cosB＝,2)． …………………………… 5分
又因为B为△ABC的内角，所以0＜B＜π，
所以B＝． …………………………… 7分
（2）因为cosC＝，C∈(0，π)，
所以sinC＝＝)2)＝， …………………………… 9分
所以sin2C＝2sinCcosC＝2××＝，
cos2C＝2cos2C－1＝2×()2－1＝－． ………………………… 11分
因为B＝，所以A＋C＝，从而A－C＝(－C)－C＝－2C，
因此 sin(A－C)＝sin(－2C)＝sincos2C－cossin2C
＝,2)×(－)－(－,2))×＝,10)．…………………………… 14分
16．证明：（1）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，AB＝A1B1．
因为E，F分别为AB和A1B1的中点，
所以AE∥FB1，AE＝FB1，
所以四边形AEB1F是平行四边形，
所以AF∥EB1． ………………………… 4分
因为AF平面B1CE，B1E平面B1CE，
所以AF∥平面B1CE．……………………… 7分
（2）因为AB∥A1B1，A1B1⊥B1C，所以AB⊥B1C．
在△ABC中，因为AC＝BC，E为AB的中点，
所以AB⊥CE． …………………………… 10分
因为AB⊥B1C，AB⊥CE，B1C∩CE＝C，B1C平面B1CE，CE平面B1CE，
所以AB⊥平面B1CE． …………………………… 12分
因为B1E平面ABC，
所以B1E⊥AB． …………………………… 14分
17．解：（1）因为p(t)＝其中t∈N．
所以当载客人数不超过1500人时，4≤t＜9，
此时p(t)＝1800－15(9－t)2随着t的增大而增大．
当t＝4时，p(4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；
当5≤t＜9时，p(t)≥p(5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意．
因此，发车时间间隔t的值为4． …………………………… 5分
（2）因为Q＝－100，
所以当9≤t≤15时，Q＝－100＝－100．
由于Q的值随着t的增大而减少，
故t＝9时Q取得最大值，此时Qmax＝220． …………………………… 7分
当4≤t＜9时，Q＝－100
＝－100
＝－100
＝1520－90(t＋) …………………………… 9分
≤1520－90×2)＝260，
当且仅当t＝，即t＝7时取得最大值． …………………………… 11分
由于260＞220，故t＝7时Q取得最大值．
答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分
18．解：（1）因为(，3e)和(b，e)都在椭圆＋＝1上，
所以 ＋＝1， ①,＋＝1． ②)) …………………………… 2分
由①整理得，＝．
代入②得，＝1－3×＝． …………………………… 4分
因为e＝，其中c2＝a2－b2，
可得b2＝3c，a2＝4c，从而c2＝a2－b2＝c，解得c＝1，即a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1． …………………………… 6分
（2）由（1）可知A(－2，0)，B(2，0)．
解法一：因为C是椭圆上异于A，B的任意一点，
所以直线BC的斜率存在且不为0．设直线BC的方程为y＝k(x－2)，k≠0．
联立＋＝1,y＝k(x－2)))，消去y，得 (3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0．
解得x＝2或x＝，从而C(，－)． …………………… 9分
因为P是BC的中点，所以P(，－)．
因为PQ⊥BC ，所以直线PQ的方程为y－(－)＝－(x－)，
化简得y＝－＋． ③
由A(－2，0)，C(，－)，可得直线AC的斜率为,＋2)＝－，
从而直线AC的方程为y＝－(x＋2)． ④
联立直线PQ，AC的方程③④，消去y得－＋＝－(x＋2)，
解得x＝，即点Q的横坐标为． …………………… 14分
因为＝(2，0)，所以·＝2(－)＝12，
即·为定值12． …………………………… 16分
解法二：设C(x0，y0)，其中x0≠±2，y0≠0，则由P是BC的中点，得P(，)．
直线AC，BC的斜率均存在且不为0，直线BC的斜率为．
因为PQ⊥BC ，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－)，
即y＝－x＋＋．③ …………………………… 9分
又直线AC的斜率为，
从而直线AC的方程为y＝(x＋2)．④
联立直线PQ，AC的方程③④，
消去y，得 －x＋＋＝(x＋2)，
两边同乘以y0，得 (2－x0)x＋＋＝(x＋2)．
由＋＝1，得y02＝3－，
代入化简得(2－x0)x＋＝(2－x0)(x＋2)．
因为x0≠2，解得x＝，即点Q的横坐标为． …………… 14分
因为＝(2，0)，所以·＝2(－)＝12，
即·为定值． …………………………… 16分
19．解：（1）由f (x)＝2lnx＋ax2－bx，得f ′(x)＝，
因为曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，
所以f (1)＝a－b＝－1， f ′(1)＝2a－b＋2＝2，
解得a＝1，b＝2． …………………………… 3分
（2）因为a＝0，所以f (x)＝2lnx－bx，x∈(0，＋∞)；
由f (x)≤－2得2lnx－bx≤－2，即b≥． …………………………… 5分
设g (x)＝，x＞0，则g′(x)＝－，
由g′(x)＝0得x＝1．
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，
则g (x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，
所以当x＝1时，g (x)有最大值g (1)＝2．
于是b≥2，即实数b的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分
（3）函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，当b＝4时f ′(x)＝．
①当a＝0时，f ′(x)＝，
由f ′(x)＞0得0＜x＜；由f ′(x)＜0得x＞，
所以f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)； ……………………… 9分
②当a＜0时，由f ′(x)＞0得0＜x＜,a)；由f ′(x)＜0得x＞,a)，
所以f (x)的增区间为(0，,a))，减区间为(,a)，＋∞)；
……………………………11分
③当0＜a＜1时，由f ′(x)＞0，得0＜x＜,a)或x＞,a)；
由f ′(x)＜0，得,a)＜x＜,a)，
所以f (x)的增区间为(0，,a))和(,a)，＋∞)，
减区间为(,a)，,a))； ……………………… 13分
④当a≥1时，f ′(x)≥0恒成立，于是f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；
综上，当a＜0时，f (x)的增区间为(0，,a))，减区间为(,a)，＋∞)；
当a＝0时，f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；
当0＜a＜1时，f (x)的增区间为(0，,a))和(,a)，＋∞)，
减区间为(,a)，,a))；
当a≥1时，f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间．
…………………………… 16分
20．解：（1）因为数列{}是以为公差的等差数列，
所以＝＋(n－1)＝a1＋(n－1)＝，即Sn＝．…………… 2分
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1，
又a1＝2＝1＋1，所以an＝n＋1，n∈N*. …………………………… 4分
（2）①因为bn＝2nan＝(n＋1)2n，
所以Tn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)2n，
因此2Tn ＝2×22＋3×23＋…＋(n＋1)2n＋1，
两式相减，得－Tn＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1
＝2＋2×－(n＋1)2n＋1
＝－n·2n＋1， …………………… 6分
所以Tn＝n·2n＋1，因此＝2n＋1，从而,)＝2，
故数列{}是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分
② 因为＝，
所以＝＋λ],n[＋λ])，即＝，…………… 10分
设f (n)＝，n∈N*，
则f (n＋1)－f (n)＝－＝，
当n≥3时，－n2－n＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0，
所以当n≥3时，f (n＋1)＜f (n)，
因此当m＞n≥3时，f (n)＞f (m)，与f (n)＝f (m)相矛盾，
又n＞1，于是n＝2， 所以＝． ………………… 12分
当m≥5时，≤＝，
又－＝≤＝－＜0，即＜，
所以当m≥5时，＜，与＝相矛盾．
又m＞n＝2，所以m＝3或4． ………………… 14分
当m＝3时，＝，解得λ＝－1；
当m＝4时，＝，解得λ＝－2；
因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分
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