江西省万年中学2020-2021学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题 PDF版含答案解析

高一数学 10 月月考试卷
一、单选题
1．设集合U ??0,1,3,5,6,8?， A??1,5,8?，B?{2}，则??UA??B?（ ）
A．?0,2,3,6? B．?0,3,6? C．?1,2,5,8? D．?
2
4?x
2．函数 y ? 定义域是( )
2
x ?2x?3
A．??2,?1? B．??2,?1???2,3? C．??2,?1???2,3? D．??2,?1?
3．下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）
A． 2
y ?( x) 与 y ? x
B． 2 2
y ? x 与 y ?( x)
2
x
C． 3 3
y ? x 与 y? x
D． 3 3
y ?( x) 与 y ? x
? x?5,x?1
4．已知 f(x)?? 2 ，则 f[f ?1?]?（ ）
?2x ?1,x?1
A．3 B．13 C．8 D．18
1 1
5．已知函数 2
f(x? )? x ? 2 ?3,则 f(3)?（ ）
x x
A．8 B．9 C．10 D．11
2
6．若函数 f ?x?满足 f ?x??2f ?2?x???x ?8x?8，则 f ?1?的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果函数 2
f(x)? x ?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减函数，那么实数a的取值
范围是（ ）
A．a??3 B．a??3 C．a?5 D．a?5
8．函数 f ?x?? 2x?1?x的值域是( )
? 1 ?
A．[0，+∞) B．(﹣∞，0] C．?? ,??? D．[1，+∞)
? 2 ?
试卷第1页，总4页
9．已知函数 2
y ?ax ?bc?c，如果a?b?c且a?b?c?0，则它的图象可能是()
A． B．
C． D．
1
10．函数 f ?x?? 2 的定义域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是（ ）
ax ?4ax?3
3 3 3
A．（﹣∞，+∞） B．[0， ） C．（ ，+∞） D．[0， ]
4 4 4
? a
?? ,x??1
11．已知函数 f(x)?? x ，在（—∞，+∞）上为增函数，则实数a的
??(3?2a)x?2,x??1
取值范围是( )
? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
A．?0, ． ． ．
? B ?0, ? C ?1, ? D ?1, ?
? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
? 1
? 1? ?1 ? ?x? ,x?A
12．设集合A? ?0, ?,B ? ? ,1 函数 若 且
?, f(x)=? 2 , x0?A,
? 2? ?2 ? ??2(1?x),x?B
f ??f ?x0????A,则x0的取值范围是（ ）
? 1? ?1 1? ?1 1? ? 3?
A．?0, ? B．? , ? C．? , ? D．?0, ?
? 4? ?4 2? ?4 2? ? 8?
二、填空题
13 ． 已 知 函 数 f?x? 满 足 f?xy?? f?x?? f?y? , 且 f?2?? p, f?3??q, 那 么
f?36?= ．
2
14．函数 f(x)? x ?4x?5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值
范围是
试卷第2页，总4页
2
15．已知函数 f ?x?? x ?2x?3，若函数 y ? f ?x?a?在?2,???上是增函数，则
的取值范围是______． a
16．函数 f(x)与的定义域为D，若对于任意x1,x2?D，当x1?x2时，都有 f(x1)? f(x2)，
则称函数 f(x)与在D上为非减函数；设函数 f(x)与在[0，1]上为非减函数，且满足
x 1
以下三个条件：①f(0)=0；② f( )? f(x)；③f(1-x)=1-f(x)，则
3 2
1 1
f( )? f( )=_________
3 8
三、解答题
17．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x| 2 ， ＝ ， ∈ ，
x ?3x?2?0} B {x|1≤x≤5 x Z} C
＝{x|2(1)A∪(B∩C)；(2) ．
(CUB)?(CUC)
18． 已知函数f(x)=x +2ax+2,x .
(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
(2) 若y=f(x)在区间 上是单调 函数，求实数 a的取值范围.
19．已知函数f (x)的定义域为R，对于任意的x,y ?R ，都有f (x?y)?f(x)?f(y)，
且当 f (x)?0 f (?1)?2
x ?0时， ，若 .
（1） 求证：f (x)是R上的减函数；
（2） 求函数f (x)在区间[?2,4]上的值域．
试卷第3页，总4页
20．已知二次函数 2
f(x)?ax ?bx?c，满足 f(0)?2 ， f(x?1)? f(x)?2x?1.
（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）若函数 f(x)在区间[a,a?1]上单调，求实数a的取值范围.
21．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m
的取值范围．
22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
5
（2）求证：函数 y ? g?x??3? 不存在“和谐区间”．
x
2
a ?a x?1
（3）已知：函数 ? ?
y ?h （ ∈ ， ）有 和谐区间 ， ，当
?x?? a R a≠0 “ ”[m n] a
2
a x
变化时，求出n﹣m的最大值．
试卷第4页，总4页
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参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据集合的补集、并集运算即可得到结论．
【详解】
解：?U ??0,1,3,5,6,8?，A??1,5,8?， B ?{2}，
??UA??0,3,6?
???UA??B??0,2,3,6?
故选：A．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．A
【解析】
2
? 4?x ?0 ? ?2? x?2
由题意? 2 ,解得? ,即x???2,?1?,故选A.
?x ?2x?3?0 ?x ?3或x??1
3．D
【解析】
试题分析：A中两函数定义域不同；B中两函数定义域不同；C中两函数定义域不同；D中两
函数定义域相同，对应关系相同，因此是同一函数
考点：判断两函数是否为同一函数
4．C
【解析】
【分析】
? x?5,x?1
由已知中 f(x)?? 2 ，将x?1代入，可得 f(1)?3，进而可求得 f[f(1)]的值．
?2x ?1,x?1
【详解】
? x?5,x?1
解：∵ f(x)?? 2 ，
?2x ?1,x?1
答案第1页，总12页
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f(1)?3，
∴ f[f(1)]? f(3)?8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题目．
5．C
【解析】
【分析】
先求出函数 f ?x?的解析式，然后再求出函数值．
【详解】
2
由题意得 ? 1? 2 1 ? 1?
f ?x? ?? x ? 2 ?3??x? ? ?1，
? x? x ? x?
2
∴ f ?x?? x ?1?x??2或x?2?，
2
∴ f ?3??3 ?1?10．
故选C．
【点睛】
解答本题的关键是求出函数的解析式，已知 f ??g?x???的解析式，求 f ?x?的解析式时，一
般用换元法求解，即令t ? g?x?，然后用t表示出x，得到 f ?t?的解析式，再把t换为x即
可，解题中要注意新元的范围．
6．B
【解析】
令x=1， f ?1??2f ?1???1?8?8??1，则 f ?1??1，故选B．
7．A
【解析】
【分析】
根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出a的取值范围。
【详解】
答案第2页，总12页
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2 2(a?1)
f(x)? x ?2(a?1)x?2的对称轴为x?? ?1?a ，
2
又 2
f(x)? x ?2(a?1)x?2开口向上，即在(??,1?a]上单调递减
即???,4? ?(??,1?a]
即4?1?a?a??3
故选A
【点睛】
本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间，主要注意区分函数在(a,b) 上是减函数
与函数的单调递减区间为(a,b)，属于基础题。
8．C
【解析】
【分析】
用换元法转化为求二次函数的值域求解或根据函数的单调性求解．
【详解】
2 ?
方法一：设 t 1
t ? 2x?1?t ?0?，则x ? ，
2
2 ?
∴ t 1 1 2 1 1 2
g?t?? t? ? t ?t? ? (t?1) ?1，
2 2 2 2
∴函数g?t?在[0,??)上单调递增，
1
∴g?t?? g(0)?? ，
2
? 1 ?
∴函数 f ?x?的值域是?? ,???．
? 2 ?
故选C．
1
方法二：由2x?1?0得x?? ，
2
? 1 ?
∴函数 f ?x?的定义域为?? ,???，
? 2 ?
又由题意得函数 f ?x?? 2x?1?x为增函数，
答案第3页，总12页
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? 1? 1
∴ f ?x?? f ?? ??? ，
? 2? 2
? 1 ?
∴函数 f ?x?的值域是?? ,???．
? 2 ?
故选C．
【点睛】
对于一些无理函数，可通过换元转化为有理函数（如二次函数），再利用有理函数求值域的
方法解决问题，“换元法”的实质是等价转化的思想方法，解题中要注意新元的范围．
9．D
【解析】
【分析】
根据a?b?c且a?b?c?0即可判断出a与c的符号，结合图像即可得选项．
【详解】
因为a?b?c且a?b?c?0
则a?0,c?0
所以对应二次函数图像开口向上，与y轴交点在原点下方
对比函数图像，D选项符合要求
所以选D
【点睛】
本题考查了二次函数图像与a、b、c的关系，根据条件选择函数图像，关键是根据所给条
件分析出a、b、c的符号，属于基础题．
10．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域的定义，即 2 2
ax ?4ax?3?0的解集为R，即方程ax ?4ax?3?0无解，
根据二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】
由题意，函数的定义域为(??,??)，
答案第4页，总12页
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即 2 2
ax ?4ax?3?0的解集为R，即方程ax ?4ax?3?0无解，
当a ?0时，3?0，此时无解，符合题意；
3
当 2 2
a?0时，??(4a) ?4a?3?0，即16a ?12a?0，所以0?a? ，
4
3
综上可得，实数a的取值范围是[0, )，故选B．
4
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的应用，以及二次函数图象与性质的应用问题，其中把函数的
定义域转化为一元二次方程无解，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了转
化思想的应用，以及推理与运算能力．
11．C
【解析】
【分析】
? a ?a＞0
?? ，x??1 ?
若函数 f ?x??? x 是R上的增函数，则?3?2a＞0 ，解得答案．
???3?2a?x?2，x??1 ??a?2a?3?2
【详解】
? a
?? ，x??1
∵函数 f ?x??? x 是R上的增函数，，
???3?2a?x?2，x??1
?a＞0
?
∴?3?2a＞0 ，
??a?2a?3?2
? 3?
解得a∈?1，?，
? 2?
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点处增，属
于中档题．
12．C
【解析】
【分析】
答案第5页，总12页
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? 1?
根据x0?A以及A? ?0, ?,可以求出 f ??f ?x0???的表达式,再根据 f ??f ?x0????A求出x0
? 2?
的取值范围.
【详解】
1 1 ?1 ?
∵0?x0 ? ,∴ f ?x0?? x0 ? ?? ,1?,
2 2 ?2 ?
? ? 1?? ?1 ?
∴ f ??f ?x0??? ?2???1? f ?x0??? ?2??1??x0 ? ???2?? ?x0 ?
? ? 2?? ?2 ?
?1 ? 1 1 1 1 1 1
∴ f ??f ?x0????A,∴0?2?? ?x0?? ,∴ ? x0? ，又∵0?x0 ? ,∴ ? x0 ? .
?2 ? 2 4 2 2 4 2
故选C
【点睛】
本题考查了复合函数与分段函数的综合应用,考查了数学运算能力.
13．2(p?q)
【解析】
试 题 分 析 ： 由 已 知 得 f(6) ? f(2?3) ? f(2)? f(3) ? p?q ， 所 以
f?36?? f(6?6) ?2f(6) ? 2p?2q
考点：抽象函数
14．[2,4]
【解析】
【分析】
【详解】
函数 2
f(x)? x ?4x?5
则对称轴为x＝2，f（2）＝1，f（0）＝f（4）＝5
又∵函数 2
f(x)? x ?4x?5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1
∴m的取值为[2，4]；
15．???,1?
【解析】
答案第6页，总12页
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【分析】
2
根据 f ?x?? x ?2x?3，表示出 f ?x?a?的解析式，根据二次函数的对称轴求出a的取值
范围．
【详解】
2
因为 f ?x?? x ?2x?3
2
所以 f ?x?a???x?a? ?2?x?a??3
2 2
化简得 f ?x?a?? x ??2a?2?x?a ?2a?3
? 2a?2
函数对称轴为 ? ?
x?? ?a?1
2
因为函数 y ? f ?x?a?在?2,???上是增函数
所以a?1?2 ，得a?1即a的取值范围为???,1?
【点睛】
本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，函数解析式的求法，属于基础题．
3
16．4
【解析】
【分析】
【详解】
∵f(0)=0,f(1?x)=1?f(x)，
令x=1,则f(0)=1?f(1),解得f(1)=1，
1 1 1 1 1
令x= ,则f( )=1?f( ),解得：f( )=? .
2 2 2 2 2
x 1
又∵f( )=? f(x)，
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴f( )=? f(1)=? ,f( )=? f( )=? ,f( )=? f( )=? ，
3 2 2 9 2 3 4 6 2 2 4
1 1 1
又由f(x)在[0,1]上为非减函数， ? ?
9 8 6
答案第7页，总12页
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1 1
故f( )=? ，
8 4
1 1 3
∴f( )+f( )=? .
3 8 4
3
故答案为 .
4
17．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(? UB)∪(? UC)＝{1,2,6,7,8}．
【解析】
试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求? UB，? UC；再求
(? UB)∪(? UC)．
试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C
＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由? UB＝{6,7,8}，? UC＝{1,2}；
故有(? UB)∪(? UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．
18．（1）最大值37, 最小值1 ； (2)a?5或a??5
【解析】
（１）因为对称轴为x=1,所以当x=-5时，f(x)取最大值；当x=1时，f(x)取最小值.
(2)因为二次函数对称轴一侧的区间为单调区间，因而可得?a??5或?a?5可得a的取值
范围.
19．（1）详见解析；（2）?-8,4?.
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 设 x2 ? x1 ， x2 ? x1 ??x2 ? x1? ， 那 么
f?x2?? f?x1 ??x2 ? x1??? f?x1?? f?x2 ? x1?，再根据已知条件证明 f?x2?? f?x1?? 0；
（2）由（1）证明函数是奇函数，并且是减函数，所以求 f??2?和 f?4?的值.
试 题 解 析 ：（ 1 ） 证 明 ： ? f(x) 的 定 义 域 为 R ， 令 x? y ?0 ， 则
f(0?0)? f(0)? f(0)?2f(0) ，
答案第8页，总12页
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∴ f(0)?0.令y ??x，则 f(x?x)? f(x)? f(?x)，
即 f(0)? f(x)? f(?x)?0.? f(?x)??f(x)，故 f(x)为奇函数．
任取x1,x2∈R，且x1 ? x2，则 f(x2)? f(x1)? f(x2)? f(?x1)? f(x2 ?x1) .
又?x2 ?x1 ?0，∴ f(x2 ?x1)?0，? f(x2)? f(x1)?0，即 f(x1)? f(x2).
故 f(x)是R上的减函数．
（2）? f(?1)?2，? f(?2)? f(?1)? f(?1)?4.
又 f(x)为奇函数? f(2)??f(?2)??4，? f(4)? f(2)? f(2)??8.
由（1）知 f(x)是R上的减函数，所以当x??2时，f(x)取得最大值，最大值为 f(?2)?4；
当x?4时， f(x)取得最小值，最小值为 f(4)??8.
所以函数 f(x)在区间[－2,4]上的值域为[－8,4]．
考点：1.抽象函数；2.函数的性质.
20．（ 2
1） f(x)? x ?2x?2；；（2）(??,0]?[1,??) .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，待定系数，即可求得函数解析式；
（2）讨论 f ?x?的对称轴和区间位置关系，列出不等式即可求得参数范围.
【详解】
（1）由 f(0)?2，得c?2，
由 f(x?1)? f(x)?2x?1，得2ax?a?b?2x?1，
?2a ?2 ?a?1
故? ，解得? ，
?a?b??1 ?b??2
所以 2
f(x)? x ?2x?2.
（2）由于函数 f(x)在区间[a,a?1]上单调，
因为 f(x)的图象的对称轴方程为x?1，
所以a?1或a?1?1，解得：a?0或a?1，
答案第9页，总12页
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因此a的取值范围为：(??,0]?[1,??) .
【点睛】
本题考查二次函数解析式的求解，在区间上最值得求解，以及根据其单调性情况求参数范围
的问题，属综合基础题.
2
21．（1） f ?x??2x ?4x?3；（2）m??1.
【解析】
【分析】
2
（1）根据题意，设 f ?x??a(x?1) ?1，根据 f ?0??3，求得a?2，即可得到函数的解
析式；
（2）把区间[?1,1]上， y? f ?x?的图象恒在 y ?2x?2m?1的图象上方，转化为不等式
2 2
m? x ?3x?1在区间[?1,1]上恒成立，令g?x?? x ?3x?1，结合二次函数的性质，即可
求解.
【详解】
（1）由题意，函数 f ?x?是二次函数，且 f ?0?? f ?2?，可得函数 f ?x?对称轴为x?1，
2
又由最小值为1，可设 f ?x??a(x?1) ?1，
又 2
f ?0??3，即a?(0?1) ?1?3，解得a?2，
2 2
所以函数的解析式为 f ?x??2(x?1) ?1?2x ?4x?3.
（2）由在区间[?1,1]上， y? f ?x?的图象恒在 y ?2x?2m?1的图象上方，
可得 2
2x ?4x?3?2x?2m?1在区间[?1,1]上恒成立，
化简得 2
m? x ?3x?1在区间[?1,1]上恒成立，
2
设函数g?x?? x ?3x?1，
则g?x?在区间[?1,1]上单调递减
∴g?x?在区间[?1,1]上的最小值为g?1???1，
∴m??1.
【点睛】
答案第10页，总12页
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本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中
熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理
与运算能力，属于中档试题.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[0,1]上单调递增,且值域也为[0,1]满足“和谐
区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可
采用反证法来进行证明；（3）设?m,n?是已知函数定义域的子集,我们可以用a表示出n?m
的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
试题解析：（1） y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
值域为[0，1]，
区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
故函数 在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程 的同号的相异实数根．
x2﹣3x+5=0无实数根，
函数 不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，
故函数 在[m，n]上单调递增．
答案第11页，总12页
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若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故 2 2 2
m、n是方程 ，即a x ?(a ?a)x?1?0的同号的相异实数根．
，
m，n同号，只须 ，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
当a=3时，n﹣m取最大值
考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.
【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出 区间 上单调递增，
且值域也为 满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，
从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间 为函数的“和
谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设
是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出 的取值，转化为二次函数的最值问题
后，根据二次函数的性质，可以得到答案．
答案第12页，总12页