19.2正方形
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文档简介
(共27张PPT)
我们学过哪些特殊四 边形？
一.特殊四边形的性质分别是：
平行四边形的性质是：
矩形的性质是：
菱形的性质是：
1.直角三角形中, 30度角所对的________
2.直角三角形中, 如果直角边是斜边的一半,
它所对的角是________
3.直角三角形中,斜边上的_____________
1.对角线_________的四边形是平行四 边形
2.________________四边形是矩形
对角线_________的平行 四边形是矩形
对角线_________的四边形是矩形
3.________________四边形是矩形
对角线_________的平行四边形是菱形
对角线_________的四边形是菱形
二.特殊四边形的判定：
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
正方形
⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）
两层含义
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
1.有一组邻边相等且 有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
A
B
C
D
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形是特殊的平行四边形，
也是特殊的矩形、菱形，
所以它具有这些图形的所有性质。
2.图中有哪些角，哪些边相等？
1.如图：四边形ABCD是正方形，它是
轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
正方形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的对称轴
∠A=∠B=∠C=∠D，AB=BC=CD=AD
第一关：
3.AC、BD是正方形ABCD的对角线，它们有何关系？
AC=BD，AC⊥BD，AC与BD互相平分
A
B
C
D
O
对称轴
2、正方形的性质
边
对角线
对边平行
四边相等
对角线相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
四个角相等且都是直角
角
正方形性质
A
B
C
D
正方形ABCD
AD∥BC，AB∥CD且AB=BC=CD=AD
∠A=∠B=∠C=∠D=R t∠
OA=OC= AC，OB=OD = BD
AC⊥BD且AC=BD
AC平分∠BAD、∠BCD，
BD平分∠ABC、∠ADC
O
A
B
C
D
O
怎样判定一个四边形是正方形呢？
1.有一组邻边相等且 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形又是菱形；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。
例1．求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
A
B
C
D
O
图中有多少个等腰三角形？
△ABO，△BCO，△CDO， △DAO；
△ABD，△BCD，△ABC，△ADC。
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；
△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
第二关：
已知:如图,正方形ABCD的对角线
AC与BD交于点O。
求证： △ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三
角形,且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
判断题：
(1)正方形既是平行四边形,又是矩形,又是菱形.( )
(2)正方形的两条对角线相等,且互相垂直. ( )
(3)正方形的每一条对角线平分一组对角. ( )
(4)一组邻边相等,且两条对角线相等的平行
四边形是正方形. ( )
(5)两条对角线相等,且互相垂直的四边形是
正方形. ( )
√
√
√
√
×
1.如图：△ABC中，∠ACB=90°，
CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
垂足分别为E、F。求证：DECF是正方形
E
A
C
B
D
F
2. 如图：分别以△ABC的边AB、AC为边向外
画正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG，
求证：BG=CE
A
B
C
F
G
D
E
第三关：
3.如图：正方形ABCD中，∠DAF=25°，
AF交对角线BD于E，交CD于F，
则∠BEC= 度
A
B
C
D
E
4.如图：E是正方形ABCD内一点，且EC=AB=BE
则∠DEC= 度
A
B
C
F
D
E
第四关：
例2:四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
8
解：∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900
∠BAC=∠DAC
∴∠OAB=450
A
B
C
D
O
E
F
(2)若AC=4，则正方形边长为 ; 正方形的面积是
4㎝
(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点到正方形一边的距离
2√2
例3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
你能完成证明吗
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 ° 条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN △CBM≌△DCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件
由正方形可以得到的条件有：
例3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
教学小结:
一.
二.正方形的判定:
1. 有一组邻边相等且 有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
边
对角线
对边平行
四边相等
对角线相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
四个角相等且都是直角
角
正方形性质
我们学过哪些特殊四 边形？
平行四边形
两组对边分别平行
四边形
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
一.特殊四边形的性质分别是：
平行四边形的性质是：
1.直角三角形中, 30度角所对的________
2.直角三角形中, 如果直角边是斜边的一半,
它所对的角是________
3.直角三角形中,斜边上的_____________
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
试一试
看能不能完成证明
△CMD≌△ADF
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
范例精讲 例5：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
分析（1）你能证明四边形是矩形吗？
（2）你能证明四边形是菱形吗？
（3）你能证明四边形是正方形吗？
请大家完成证明
O
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6cm，如图
求：正方形的面积S。
例6．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线组成四边形A'B'C'D'，
分析：
判定一个四边形是正方形可以选择：
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
下面请大家进行证明。
(1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等；
(2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90°
已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形A'B'C'D'，
证明：在四边形ABCD中
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证) AB'－AA'＝BD'－BA' A'B'＝A'D' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA
∴∠B'＝∠D'＝90°
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
AD＝BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'＝BD'＝CD'＝DB' 同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)
我们学过哪些特殊四 边形？
一.特殊四边形的性质分别是：
平行四边形的性质是：
矩形的性质是：
菱形的性质是：
1.直角三角形中, 30度角所对的________
2.直角三角形中, 如果直角边是斜边的一半,
它所对的角是________
3.直角三角形中,斜边上的_____________
1.对角线_________的四边形是平行四 边形
2.________________四边形是矩形
对角线_________的平行 四边形是矩形
对角线_________的四边形是矩形
3.________________四边形是矩形
对角线_________的平行四边形是菱形
对角线_________的四边形是菱形
二.特殊四边形的判定：
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
正方形
⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）
两层含义
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
1.有一组邻边相等且 有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
A
B
C
D
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形是特殊的平行四边形，
也是特殊的矩形、菱形，
所以它具有这些图形的所有性质。
2.图中有哪些角，哪些边相等？
1.如图：四边形ABCD是正方形，它是
轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
正方形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的对称轴
∠A=∠B=∠C=∠D，AB=BC=CD=AD
第一关：
3.AC、BD是正方形ABCD的对角线，它们有何关系？
AC=BD，AC⊥BD，AC与BD互相平分
A
B
C
D
O
对称轴
2、正方形的性质
边
对角线
对边平行
四边相等
对角线相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
四个角相等且都是直角
角
正方形性质
A
B
C
D
正方形ABCD
AD∥BC，AB∥CD且AB=BC=CD=AD
∠A=∠B=∠C=∠D=R t∠
OA=OC= AC，OB=OD = BD
AC⊥BD且AC=BD
AC平分∠BAD、∠BCD，
BD平分∠ABC、∠ADC
O
A
B
C
D
O
怎样判定一个四边形是正方形呢？
1.有一组邻边相等且 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形又是菱形；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。
例1．求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
A
B
C
D
O
图中有多少个等腰三角形？
△ABO，△BCO，△CDO， △DAO；
△ABD，△BCD，△ABC，△ADC。
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；
△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
第二关：
已知:如图,正方形ABCD的对角线
AC与BD交于点O。
求证： △ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三
角形,且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
判断题：
(1)正方形既是平行四边形,又是矩形,又是菱形.( )
(2)正方形的两条对角线相等,且互相垂直. ( )
(3)正方形的每一条对角线平分一组对角. ( )
(4)一组邻边相等,且两条对角线相等的平行
四边形是正方形. ( )
(5)两条对角线相等,且互相垂直的四边形是
正方形. ( )
√
√
√
√
×
1.如图：△ABC中，∠ACB=90°，
CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
垂足分别为E、F。求证：DECF是正方形
E
A
C
B
D
F
2. 如图：分别以△ABC的边AB、AC为边向外
画正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG，
求证：BG=CE
A
B
C
F
G
D
E
第三关：
3.如图：正方形ABCD中，∠DAF=25°，
AF交对角线BD于E，交CD于F，
则∠BEC= 度
A
B
C
D
E
4.如图：E是正方形ABCD内一点，且EC=AB=BE
则∠DEC= 度
A
B
C
F
D
E
第四关：
例2:四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
8
解：∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900
∠BAC=∠DAC
∴∠OAB=450
A
B
C
D
O
E
F
(2)若AC=4，则正方形边长为 ; 正方形的面积是
4㎝
(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点到正方形一边的距离
2√2
例3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
你能完成证明吗
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 ° 条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN △CBM≌△DCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件
由正方形可以得到的条件有：
例3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
教学小结:
一.
二.正方形的判定:
1. 有一组邻边相等且 有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
边
对角线
对边平行
四边相等
对角线相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
四个角相等且都是直角
角
正方形性质
我们学过哪些特殊四 边形？
平行四边形
两组对边分别平行
四边形
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
一.特殊四边形的性质分别是：
平行四边形的性质是：
1.直角三角形中, 30度角所对的________
2.直角三角形中, 如果直角边是斜边的一半,
它所对的角是________
3.直角三角形中,斜边上的_____________
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
试一试
看能不能完成证明
△CMD≌△ADF
例4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
范例精讲 例5：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
分析（1）你能证明四边形是矩形吗？
（2）你能证明四边形是菱形吗？
（3）你能证明四边形是正方形吗？
请大家完成证明
O
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6cm，如图
求：正方形的面积S。
例6．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线组成四边形A'B'C'D'，
分析：
判定一个四边形是正方形可以选择：
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
下面请大家进行证明。
(1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等；
(2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90°
已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形A'B'C'D'，
证明：在四边形ABCD中
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证) AB'－AA'＝BD'－BA' A'B'＝A'D' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA
∴∠B'＝∠D'＝90°
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
AD＝BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'＝BD'＝CD'＝DB' 同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)