基本不等式
教学设计
一、教学目标
（1）知识目标:会熟练用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
二、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点:
掌握基本不等式最基本的应用
难点:理解基本不等式
的成立条件。
三、教学策略与方法
1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．
2.教具准备：多媒体
四、教学过程
1、复习引入
重要不等式：
基本不等式：
2、利用基本不等式求最值
注：利用基本不等式求最值需注意：
“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可
学案P17，例1
简单应用：
PPT当堂练习
例2（3）当堂作业1、2、5
类型一：形如(ab>0)求最值
学案P75例2（1）（2）
（1）变式：①
x>0改为x<0,求f（x）的最大值。
②
x>0改为x≥2,求f（x）的最小值。
③去掉x>0，求f（x）的值域
练习：P75例3
当堂检测2
当堂作业3,4
例3．求函数
的最大值，及此时x的值。
课时作业20，T15
双城例1，例2（2）
类型二：巧化“1”----凑定值
例4.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值
错解：
错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。
正解：
课时作业7，9
双城例4
五、课堂小结
这节课学习了什么，有哪些方面的应用，应用的时候有什么限制条件？
注：利用基本不等式求最值需注意：
（1）“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可
（2）如何凑定值利用基本不等式求最值。
类型一：形如(ab>0)求最值
类型二：巧化“1”----凑定值
六、布置作业
必做题：课时作业20
选做题：小本P121
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a
=b时，等号成立.(共26张PPT)
人教A版《普通高中新课程标准实验教科书·数学》必修5
§3.4基本不等式
学习目标
（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养自己观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养自己严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发自己的学习兴趣和勇于探索的精神。
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？
2002年国际数学家大会会标
创设情境、体会感知：
一
、探究
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三
角形，它们的面积总和是S’=———
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB= 则正方形的面积为S= 。
问题3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？
易得，s
>
s’,即
A
D
C
B
G
F
E
H
问题4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
a
b
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
问题5：当a,b为任意实数时，
还成立吗？
此不等式称为重要不等式
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
证明：（作差法）
问题6：你能给出不等式
的证明吗？
替换后得到：
即：
即：
合作探究，问题解决
探究二：若
用
去替换
中的
,能得到什么结论?
基本不等式
（当且仅当a=b时，等号成立）
要证：
只要证：
要证②，只要证
要证③，只要证
①
②
③
④
④式显然成立.当且仅当a=b时，
④中的等号成立.
问题7:你能证明不等式
合作探究，问题解决
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
几何平均数
算术平均数
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能给出
的几何解释吗?
A
B
C
D
E
a
b
O
问题8:
几何意义：半径不小于弦长的一半
对基本不等式的理解
(3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小
于它们的等比中项;
(1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)文字语言:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数.
(4)
成立的条件
提高
探究三：类比重要不等式的结论，填写表格．
名称
重要不等式
基本不等式
公式
等号成立条件
的取值范围
常见变形
合作探究，问题解决
典例探究
学案72页例1、2
学案72页当堂1
重要变形
（由小到大）
学案72页当堂2、3
课时作业13题
例3（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数
取什么值时,它们的和最小？
典例探究
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时,它们的积最大？
思考：例3中的问题推广到一般情形，你是否能概括出利用基本不等式求最值的方法？
利用基本不等式求最值
已知
都是正数，试探究：
（1）如果积
是定值P，和
是否有最小值？若有，那么当
时，最小值为：
（2）如果和
是定值S，积
是否有最大值？若有，那么当
时，最大值为
自我提升
注：“一正，二定，三相等”是求最值时需满足的条件
练习（3）：（1）用篱笆围成一个面积为100
的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为
m，宽为
m，
则
，篱笆的长为
m.
所以，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
100
一正
二定
三相等
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为
m，宽为
m，
矩形菜园的面积为
m2
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
9
一正
二定
三相等
学案75页例2、
学案75页例2、3
1、
主要内容：
课堂小结
3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用的条件。
2.
数形结合，换元的数学思想方法。评测练习
1.
若，下列不等式恒成立的是 （
）
A． B． C．
D．
2.
若且，则下列四个数中最大的是
（
）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
3.
设x>0,则的最大值为
（
）
Ａ．3 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．－1
4.
设的最小值是(
)
A.
10
B.
C.
D.
5.
若x,
y是正数，且，则xy有 （
）
Ａ．最大值16
Ｂ．最小值
Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6.
若a,
b,
c∈R，且ab+bc+ca=1,
则下列不等式成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
7.
若x>0,
y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
8.
a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9.
某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10.
下列函数中，最小值为4的是
（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11.
函数的最大值为
.
12.
建造一个容积为18m3,
深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2
的造价为200元和150元，那么池的最低造价为
元.
13.
若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是
.
14.
若x,
y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答
.
三、解答题,
本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
15.
已知：,
求mx+ny的最大值.
16.
设a,
b,
c且a+b+c=1，求证：
