4.5 相似三角形判定定理的证明 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
数学北师大版
九年级上
4.5
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=
∠A′，∠B
=∠B′.
求证：△ABC
∽△A'B'C'．
A′
C′
A
B
C
B′
证明：在
△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取AD
=A'B'，
过点D作BC的平行线，交
AC
于点E，则
D
E
∠ADE=∠B，∠AED
=∠C，∠EAD
=∠BAC
过点
D
作
AC
的平行线,交
BC
于点
F,则
F
∵
DE∥BC,
DF∥AC,
∴
四边形
DFCE
是平行四边形,
∴
DE
=
CF.
∴
△ADE
∽
△ABC.
∵
∠
A
=
∠
A'，
∠
ADE
=
∠
B
=∠
B'，
AD
=
A'B'，
∴
△ADE
≌△A'
B
'
C
'
，
∴
△ABC
∽△A'B'C.
试一试：1.如图,∠ABD=∠C，AD=2,
AC=8，求AB.
解：
∵
∠
A=
∠
A
,
∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
AB
:
AC
=
AD
:
AB,
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD
=
2
,
AC
=
8,
∴
AB
=
4.
C
D
A
B
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC
和△A′B′C′
中，∠A
=∠
A'，
求证：△ABC
∽
△A′B′C′.
A′
C′
A
B
C
B′
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A′B′，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
D
E
∠ADE=∠B，∠AED
=∠C，∠EAD
=∠BAC
∴
△ABC
∽
△ADE，
∴
AE
=A'C'.
∵
∠
A=∠
A'，
∴
△ADE
≌
△A'B'C'，
∴
△ABC
∽
△A'B'C'.
2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长.
解:
∵
AB=6，BC=4，AC=5，CD
=
又∠B
=∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
A
B
C
D
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
B′
A′
C′
A
B
C
已知：如图，在
△ABC
和△A′B′C′
中，
求证：△ABC
∽
△A′B′C′
.
证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.
D
E
而∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴DE=B′C′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A′B′，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
已知：如图，在
△ABC
和△A′B′C′
中，
求证：△ABC
∽
△A′B′C′
.
B′
A′
C′
A
B
C
D
E
△ABC
∽
△ADE
∴DE=B′C′
∴AE=A′C′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
3.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
①③
提示：计算三边的长，算三边是否成比例
作业布置：
习题2.5
1，2，3
选讲内容：
1.已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E,且AE=AB.
求证：AE2=AD·AC.
即AB2=AD·AC.
提示：由AE=AB,得
∠ABE=∠AEB;
而∠ABE=∠ABD+∠DBE,
∠AEB=∠C+∠EBC,
由∠DBE=∠EBC,得
∠ABD=∠C.
于是△ABD∽△ACB,
所以
由AE=AB,得AE2=AD·AC.
2.已知：如图S4-5-11，在△ABC中，
点D，E分别在边AB，BC上，BA·BD=BC·BE
（1）求证：DE·AB=AC·BE；
（2）如果AC2=AD·AB，求证：AE=AC.
证明：（1）∵BA·BD=BC·BE，∴
又∵∠B=∠B，
∴
.
∴DE·AB=AC·BE.
（2）∵AC2=AD·AB，∴
.
∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB.
∴∠ACD=∠B.∵
，
∴△BAE∽△BCD.
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠AEC=∠ACE.∴AE=AC.
∴△ABC∽△EBD.
∠B=∠B，
∴∠BAE=∠BCD.
3.如图S4-5-12，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E,F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．
(1)求证：△AFG∽△AED;
(2)若FG=2，G为AD中点，求CG的长．
(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
点E是BF中点，
∴BD=CD，BE=EF.
∴DE是△BCF的中位线.
∴DE∥CF.
∴DE∥FG.
∴△AFG∽△AED.
(2)解：∵G为AD中点，FG∥DE，
∴AF=EF.
∴FG是△ADE的中位线.
∴DE=2FG=4.
∴CF=2DE=8.
∴CG=FC-FG=8-2=6．
3.如图S4-5-12，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E,F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．
(1)求证：△AFG∽△AED;
(2)若FG=2，G为AD中点，求CG的长．
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