7.4 平行线的性质 课件（共19张PPT）

数学北师大版
八年级上
7.4 平行线的性质
复习巩固
1、平行线的判定：
(1)公理：同位角相等，两直线平行；
(2)定理：内错角相等，两直线平行；
(3)定理：同旁内角互补，两直线平行.
2、定理：
(1)对顶角相等；
(2)在平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行 .
已知：如图所示，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，
如图所示.
G
H
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
证明：
∵a∥b（已知）,
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1=∠3（对顶角相等）,
∴∠1=∠2（等量代换）.
定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
已知，如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
a
b
c
证明：∵a∥b（已知），
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
两条直线被第三条直线所截.
平行线的判定
平行线的性质
条件
结论
条件
结论
同位角相等
两直线平行
两直线平行
同位角相等
内错角相等
两直线平行
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
两直线平行
同旁内角互补
公理
判定与性质的条件与结论正好反过来
例已知: 如图, b//a, c//a,∠1,∠2，∠3是直线a, b, c被直线d截出的同位角.求证: b//c.
证明: ∵ b//a(已知),
∴∠2=∠l (两直线平行，同位角相等).
∵c//a (已知),
∴∠3=∠l (两直线平行，同位角相等).
∴∠2=∠3 (等量代换).
∴ b//c (同位角相等，两直线平行) .
定理：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.（三线平行定理）
练习：1.如图所示，CD∥OB，EF∥AO，
求证∠1=∠O.
证明：∵CD∥OB，
∴∠1=∠2，
又∵EF∥AO，
∴∠2=∠O，
∴∠1=∠O.
2.根据题意填空：
如图，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠1=____
_________________________
又∵∠BAD=∠BCD （ 已知 ）
∴∠BAD﹣∠1=∠BCD﹣∠2
_______________________
即：∠3=∠4
∴ ．
∠2
（两直线平行，内错角相等）
等式性质
（内错角相等，两直线平行）
AB∥CD
作业布置如下
解：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF=∠ABC，
∴BC∥GF
（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3.
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BF∥DE.
∵DE⊥AC，
1．如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
∴BF⊥AC．
2.如图,已知∠1=∠2，∠B=∠C,
(1)找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的。
(2)证明：∠A=∠D.
解：（1）AE∥FD，AB∥CD
（2）证明：∵∠B=∠C
∴AB∥CD
∴ ∠A=∠AEC
∵∠1=∠2,∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AE∥FD
∴∠AEC=∠D
∴∠A=∠D
3. 如图已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，MP平分∠EMB，NQ平分∠MND.请分别写出∠AMN与∠MND，∠BMN与∠MND，∠EMP与∠MNQ之间的大小关系，并说明理由.
解：∠AMN=∠MND，∠BMN+∠MND=180°，
∠EMP=∠MNQ.理由如下：
因为AB∥CD(已知)，
所以∠AMN=∠MND（两直线平行，内错角相等），
∠BMN+∠MND=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠EMB=∠MND(两直线平行，同位角相等).
因为MP平分∠EMB，NQ平分∠MND(已知)，
所以∠EMP= ∠EMB，∠MNQ= ∠MND(角平分线的定义).
所以∠EMP=∠MNQ(等量代换).
4. 如图7-4-4，已知AB∥CD，BD平分∠ABC，交AC于点O，CE平分∠DCG，∠ACE=90°.证明：BD⊥AC.
证明：因为AB∥CD（已知），
所以∠ABC=∠DCG（两直线平行，同位角相等）.
因为BD平分∠ABC，CE平分∠DCG（已知），
所以∠DBC= ∠ABC，∠ECG= ∠DCG（角平分线的定义）.
所以∠DBC=∠ECG（等量代换），
所以BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
所以∠BOC=∠ACE（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠ACE=90°（已知），
所以BD⊥AC（垂直的定义）.
所以∠BOC=90°（等量代换），
5. 如图C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于多少度？
所以∠ACD=∠CAN，∠BCD=∠CBN′.
又因为C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，
所以∠CAN=50°，∠CBN′=40°.
所以∠ACD=50°，∠BCD=40°,
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°+40°=90°.
解：如图7-4-6，过点C作南北方向线CD，则CD∥AN，CD∥BN′，
6．如图，AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．
解：∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF＝70°，
∵DE∥CF，
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝50°，
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝20°
7.如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D，F为垂足，G是AB上一点，且∠1＝∠2，
求证：∠AGD＝∠ABC.
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴GD∥BC，
∴∠AGD＝∠ABC
谢谢
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