7.5.2 三角形内角和定理 课件（共25张PPT）

数学北师大版
八年级上
7.5 三角形内角和定理（二）
把△ABC的内角∠ACB的一边BC延长得到∠ACD，
这个角叫做△ABC的外角
A
B
C
D
三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
三角形一共有6个外角
三角形一个顶点处有2个外角
如图所示，我们知道∠1是△ABC的一个外角，猜一猜∠1与△ABC的内角之间有什么等量关系，理由是什么？在小组内交流.
A
C
B
1
∵∠1+∠ABC=1800 ,
∠A+∠C+∠ABC=1800 ,
∴∠1=∠A+∠C.
∴∠1>∠A，∠1>∠C,
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
定理：
∴∠B= ∠EAC.
例2.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C,
∠B=∠C,
∴∠EAD=∠B,
∴ AD∥BC.
A
C
D
B
E
∵ AD平分∠EAC,
∴∠EAD= ∠EAC,
还有其他方法吗？
练习：如图是由线段AB,CD,DF,BF ,CA组成的平面图形，∠D= 28°,则∠A十∠B十∠C+∠F的度数为多少？
解：∠A+∠C=∠DGA
∠B+∠F=∠BED
①
②
①+②
∠A十∠B十∠C+∠F
=∠DGA+∠BED
=180°-∠DGE+180°-∠GED
=360°-（∠DGE+∠GED）
=360°-（180°-∠D）
=360°-180°+∠D=180°+∠D
如图
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少？
解：在ΔEFG中
∠E十∠EFG十∠EGF=180°
思考：∠EFG是哪一个三角形的外角？
找出组成∠EFG的二条直线，
用一边的反向线与另一边组成的三角形是FBD。
故∠EFG是三角形FBD的外角
又∠EFG=∠B+D
思考：∠EGF是哪一个三角形的外角？
找出组成∠EGF的二条直线，
用一边的反向线与另一边组成的三角形是GAC。
故∠EGF是三角形GAC的外角
∠EGF=∠A+C
∴∠E十∠B十∠D十∠A十∠C=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
例3.已知：如图所示，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
A
B
C
P
证明：如图，延长BP，交AC于点.
∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）,
∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）,
∴ ∠ PDC ＞ ∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）,
∴ ∠ BPC ＞ ∠ A.
D
A
B
C
P
例3.已知：如图所示，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
证明（二）：如图，连接AP,并延长交BC于点M，
M
∴ ∠ BPM ＞ ∠ BAM
∠ CPM ＞ ∠ CAM
∴ ∠ BPM +∠ CPM＞ ∠ BAM+∠ CAM
即：∠BPC>∠A
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
（不等式性质）
课后作业如下
1. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣40°﹣72°=68°
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE= ∠ACB= ×68°=34°
∵CD⊥AB即∠CDB=90°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣72°=18°，
∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=34°﹣18°=16°．
∵DF⊥CE即∠DFC=90°，
∴∠CDF=180°﹣90°﹣16°=74°．
2．如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=24°，∠ACB=104°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB
=180°﹣24°﹣104°=52°
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= ×52°=26°，
∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=104°，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB
=180°﹣104°=76°，
∴∠CAD=14°，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=40°．
3．如图，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC与∠B谁大？并说明理由．
解：∠BAC＞∠B，
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC＞∠1，
∵CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠BAC＞∠2，
∴∠2＞∠B，
∴∠1=∠2，
∵∠2是△BCE的外角，
∴∠BAC＞∠B．
4.如图：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E．求证：∠BAC＞∠B．
证明：∵EC是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠ECD＞∠B，
而∠BAC=∠E+∠ECA，
∴∠BAC＞∠B．
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（ ）
A．42° B．66°
C．69° D．77°
C
巩固提高
6．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85° B．80°
C．75° D．70°
7.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC、∠ACB的
角平分线相交于点P，
则∠BPC的度数为 ．
A
115°
巩固提高
8.如图，把三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部，已知∠1+∠2=80°，则∠A的度数为 ．
40°
巩固提高
9.如图：∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
解：∵∠A=65°，∠ABD=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD
=65°+30°=95°，
∴∠BEC=∠EDC+∠DCE
=95°+30°=125°．
10.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，说明AD∥BC．
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD= ∠EAC．
又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B= ∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．
11．如图， MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解：延长MF交CD于点H，
∵∠1=90°+∠CFH，∠1=140°，∠2=50°，
∴∠CHF=140°﹣90°=50°，
∴∠CHF=∠2，
∴AB∥CD．
巩固提高
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数．
解：∵∠B=35°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=55°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=110°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=75°.
13. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，请运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
解：延长CD交AB于点E，
∵∠BDC是△DBE的一个外角，
∴∠BDC＝∠B＋∠DEB.
∵∠DEB是△AEC的一个外角，
∴∠DEB＝∠C＋∠A
即∠BDC＝∠C＋∠B＋∠A＝21°＋32°＋90°＝143°，
而测量的结果是∠BDC＝148°，
∴零件不合格
E
14.如图,在△ABC中，∠B= 90°,∠_ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H,求∠H的度数.
解:∵ CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，
∠H= ∠CAD-∠ACH

= ∠CAF- ∠ACB
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
= (180°-∠BAC)- ∠ACB
=90°- ∠BAC- ∠ACB
=90°- (∠BAC+∠ACB)
=45°
=90°- ×90°
∠A1=180-∠ABC-∠A1CB
=180°- ∠ABC-(∠A1CA+∠ACB)
=180°- ∠ABC-∠A1CA-∠ACB
=180°- ∠ABC- (180°- ∠ACB) - ∠ACB
=180°- ∠ABC- ∠ACB
=180°- (∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°- α）= α
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php