7.5.1 三角形内角和定理 课件（共16张PPT）

数学北师大版
八年级上
7.5 三角形内角和定理（一）
三角形的内角和定理：三角形的内角和是180°
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
证明：延长BC到D,
则 ∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等）
∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等）
∵ ∠1+ ∠2+ ∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠C=180°
过点C作射线CE∥BA,
1
?2
?
A
B
C
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
另种证法
证明:过C作AB的平行线EF,即EF∥AB,则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠BCF= ∠B(两直线平行,内错角相等)
又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定义)
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
E
F
证明:过点C作CE∥AB,则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BCE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
即∠B+∠BCA+∠ACE=180°
∴ ∠B+∠BCA+∠A=180° (等量代换)
A
B
C
E
说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化
为互补的两个角求解;
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法三
(1)
A
B
C
P
Q
R
T
S
N
(3)
A
B
C
P
Q
R
M
T
S
N
(2)
A
B
C
P
Q
R
M
更多证法
A
B
C
∠A+∠B+∠C=180°
∠A=180°-∠B-∠C=180°-（∠B+∠C）
∠A+∠B=180°-∠C
三角形的内角和是180°可以写成下列各式
任意一个角等于180°减去另外二个角，或
减去另外二个角的和，
任意二个角的和等于180°减去另外一个角
例;如图，在△ABC中，∠B=38°， ∠C=62°AD是△ABC的角平分线，
求∠ADB的度数。
解： 在△ABC中，
∠B+ ∠C+ ∠BAC=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°,∠C=62°（已知）
∴ ∠BAC=180°- 38°-62°= 80°（等式的性质）
∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ ∠BAD= ∠CAD = （角平分线的定义）
∠B+ ∠BAD+ ∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证)
∴ ∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°
练习：如图，在△ABC中，∠A=60°，
∠C=70°D,E分 别是AB,AC上
的点，且DE∥BC，求∠ADE的度数。
解： 在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°
∵ ∠A=60°,∠C=70°
∴ ∠B=180°- 60°-70°= 50°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B= 50°
解:
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－∠A(等式的性质)
又∵BE、CF分别平分∠ABC 和∠ACB(已知)
∴ ∠BOC=180° －(∠1+∠2)=180° －(90°－ ɑ) =90°＋ ɑ
∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800 (三角形的内角和定理)
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－ɑ (等量代换)
∴ ∠1= ∠ABC ，∠2= ∠ACB(角平分线的定义)
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×(180°－ɑ )=90°－ ɑ
又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的内角和定理)
A
B
C
E
F
O
1
2
例：如图，已知△ABC中，∠A=α ,∠ABC 和∠ACB的平分线BE、CF交于点O.求∠BOC
练习：如图，已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC 和∠ACB的平分线BE、CF交于点O.求∠BOC
解:
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－∠A(等式的性质)
又∵BE、CF分别平分∠ABC 和∠ACB(已知)
∴ ∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－65°=115°(等式的性质)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° (三角形的内角和定理)
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°(等量代换)
∴ ∠1= ∠ABC ∠2= ∠ACB(角平分线的定义)
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×130°=65°(等式的性质)
又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的内角和定理)
A
B
C
E
F
O
1
2
课后作业
习题7.6 1，2.3，4
1.如图，已知∠B= 35° ,∠C=60°,
AD⊥BC,AE平分∠BAC,求∠EAD的度数.
解：在△ABC中，
∠BAC= 180°-B-∠C= 85°，
∵AD⊥ BC
∴∠ADE= 90°
∵AE平分∠BAC,
选做题：
2.如图，在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠DAC= 26° ,∠CBE=22°.求∠BAC的度数.
3.在△ABC中,∠B= 90°,AD平分∠CAE,CD平分∠ACF,AD、CD相交于点D.求∠D的度数 .
证明:在△ABC中，
∵∠B= 90°
∴∠BAC+∠BCA = 90°.
∵AD平分∠CAE,CD平分∠ACF.
∴∠DAC= ∠EAC
∠DCA= ∠FCA
= ( 180°-∠BAC)
= ( 180°-∠CBA)
∴∠DAC+∠DCA=
( 180°-∠BAC)+
( 180°-∠CBA)
=180°- (∠BAC+∠CBA)
=180°-45°=135°
∴∠D=
180°-135°=45°
谢谢
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