2.3.4平面与平面垂直的性质

(共16张PPT)
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
提出问题：
该命题正确吗？
观察实验
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系
Ⅱ.概括结论
平面与平面垂直的性质定理
b
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简述为：
面面垂直
线面垂直
该命题正确吗？
符号表示：
知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
思考 设平面 ⊥平面β，点P在平面 内，
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面
具有什么位置关系？
D
C
B
P
a


例 如图，已知平面 ，β， ⊥β，直线a
满足a⊥β， a ，试判断直线a与平面
的位置关系.
b
a

β
练习. 教材P.73练习第1、2题
例1：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系
（2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
面面垂直
线面垂直
性质定理
判定定理
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
B
C
E
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α，AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
C
D
E
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
M
D
E
C
A
B
（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角。