2013高数学周考（1）
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2013高数学周考（1）姓名___________________
一、选择题
1、已知命题则是（ C ）
A、 B、 C、 D、
2、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( C )
A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在
3、若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 … ( )
A.［0°,90°］B.［90°,180°］C.(90°,180°)D.［0°,180°)
参考答案与解析:解析：做出l的图象如下图,由图象易知,应选C.
答案：C
4、下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等,则两直线平行②若l1∥l2,则k1=k2
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案与解析:解析：①③④正确,②错. 答案：C
5、已知直线x+my+6=0和(m－2)x+3y+2 m =0互相平行，则实数m的取值为（ B ）
A．—1或3 B．—1 C．—3 D．1或—3
6、直线l1:ax+y=3;l2:x+by－c=0，则ab=1是l1||l2的（ C ）
A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
7、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是( B )
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
参考答案与解析:解析：kAB=,kBC=, kCD=,kAD=.
∵kAB=kCD，kAD·kAB=-1,kAD·kCD=-1∴ABCD为直角梯形.
8、如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ C ）
A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2
9、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是（ C ）
A平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定
10．设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题
11 、a、b、c是两两不等的实数，则经过P(b,b+c)、C(a,c+a)两点直线的倾斜角为________.
参考答案与解析:解析：k= ∴α=45°答案：45°
12、过点A(0，)与B(7，0)的直线l1与过(2，1)，(3，k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为___________.
参考答案与解析:解析：若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆， 则l1⊥l2.而,.由，得k=3答案：3
13．若在△ABC中，则=
14、在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα；
②若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；
③若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.
所有正确命题的序号是___________.
参考答案与解析:【探究】 ①当α=90°时，斜率k不存在，故错误；②倾斜角的正切值为-1时，倾斜角为135°，故正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；④直线过定点(1，2)，斜率为1，又，故直线必过(3，4)，命题正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1，1)与(5，4)两点，命题错误.答案：②③④
15、设集合，，，
（1）的取值范围是 ；（-，2）
（2）若，，且的最大值为9，则的值是 9/2___
三．解答题
16、已知，命题函数在上单调递减，命题曲线与轴交于不同的两点，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围。
解:为真：；为真：或（1）当真假（2）当假真综上，的取值范围是
17. 设为等比数列，，．（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数．（2）因为，…………①
，…………②
得：
所以．
18、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，求实数a的值。
. 解：l1的斜率k1=当a≠0时，l2的斜率k2=
∵l1⊥l2 ∴k1·k2=－1，即a×=－1 得a=1
当a=0时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线l2为y轴，A（－2，0）、B（1，0），这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2 综上可知，实数a的值为1和0。
19、经过长期观测得到，在交通繁忙的时间段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为（）。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0．1千辆/小时）；（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意得，，当且仅当，即时，上式等号成立，所以11．1（千辆/小时）
（2）由条件得，整理得，解得
所以，当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11．1千辆/小时．当汽车的平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，则在该时段内车流量超过10千辆/小时。
20、已知函数，设，（1）求，的表达式，并猜想的表达式（直接写出猜想结果）（2）若关于的函数在区间上的最小值为6，求的值。
. 解：（1），
，猜想
（2），
，，又在区间上的最小值为6当时，，解得，
21、 已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线上．（1）求数列的通项公式和； (2) 设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数．
解（1） .
（2）
因此： 即：
一、选择题
1、已知命题则是（ C ）
A、 B、 C、 D、
2、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( C )
A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在
3、若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 … ( )
A.［0°,90°］B.［90°,180°］C.(90°,180°)D.［0°,180°)
参考答案与解析:解析：做出l的图象如下图,由图象易知,应选C.
答案：C
4、下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等,则两直线平行②若l1∥l2,则k1=k2
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案与解析:解析：①③④正确,②错. 答案：C
5、已知直线x+my+6=0和(m－2)x+3y+2 m =0互相平行，则实数m的取值为（ B ）
A．—1或3 B．—1 C．—3 D．1或—3
6、直线l1:ax+y=3;l2:x+by－c=0，则ab=1是l1||l2的（ C ）
A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
7、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是( B )
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
参考答案与解析:解析：kAB=,kBC=, kCD=,kAD=.
∵kAB=kCD，kAD·kAB=-1,kAD·kCD=-1∴ABCD为直角梯形.
8、如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ C ）
A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2
9、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是（ C ）
A平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定
10．设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题
11 、a、b、c是两两不等的实数，则经过P(b,b+c)、C(a,c+a)两点直线的倾斜角为________.
参考答案与解析:解析：k= ∴α=45°答案：45°
12、过点A(0，)与B(7，0)的直线l1与过(2，1)，(3，k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为___________.
参考答案与解析:解析：若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆， 则l1⊥l2.而,.由，得k=3答案：3
13．若在△ABC中，则=
14、在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα；
②若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；
③若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.
所有正确命题的序号是___________.
参考答案与解析:【探究】 ①当α=90°时，斜率k不存在，故错误；②倾斜角的正切值为-1时，倾斜角为135°，故正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；④直线过定点(1，2)，斜率为1，又，故直线必过(3，4)，命题正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1，1)与(5，4)两点，命题错误.答案：②③④
15、设集合，，，
（1）的取值范围是 ；（-，2）
（2）若，，且的最大值为9，则的值是 9/2___
三．解答题
16、已知，命题函数在上单调递减，命题曲线与轴交于不同的两点，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围。
解:为真：；为真：或（1）当真假（2）当假真综上，的取值范围是
17. 设为等比数列，，．（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数．（2）因为，…………①
，…………②
得：
所以．
18、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，求实数a的值。
. 解：l1的斜率k1=当a≠0时，l2的斜率k2=
∵l1⊥l2 ∴k1·k2=－1，即a×=－1 得a=1
当a=0时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线l2为y轴，A（－2，0）、B（1，0），这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2 综上可知，实数a的值为1和0。
19、经过长期观测得到，在交通繁忙的时间段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为（）。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0．1千辆/小时）；（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意得，，当且仅当，即时，上式等号成立，所以11．1（千辆/小时）
（2）由条件得，整理得，解得
所以，当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11．1千辆/小时．当汽车的平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，则在该时段内车流量超过10千辆/小时。
20、已知函数，设，（1）求，的表达式，并猜想的表达式（直接写出猜想结果）（2）若关于的函数在区间上的最小值为6，求的值。
. 解：（1），
，猜想
（2），
，，又在区间上的最小值为6当时，，解得，
21、 已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线上．（1）求数列的通项公式和； (2) 设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数．
解（1） .
（2）
因此： 即：