人教A版高中数学必修二第一章球的体积和表面积课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
1.3.2　球的体积和表面积
知识点　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式
(R为球的半径)；
2.球的体积公式
S＝4πR2
怎么得到的呢？
V＝
πR3
怎样求球的表面积和体积？
提出问题
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
h
实验：排液法测小球的体积
实验方法
小球的体积
等于
它排开液体的体积
曹冲称象
H
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．
极限思想
第一步：分割
O
球面被分割成n个网格，
表面积分别为：
则球的表面积：
则球的体积为：
设“小锥体”的体积为：
O
球的表面积
O
第二步：求近似和
O
由第一步得：
第三步：转化为球的表面积
如果网格分的越细,则:
①
由①②
得:
②
球的体积:
的值就趋向于球的半径R
O
“小锥体”就越接近小棱锥。
问题情景:发挥自己的想象------用一个平面去截球,截面会是什么形状?
球的截面及其性质
圆面
性质2:
球心和截面圆心的连线垂
直于截面．
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
用一个平面去截球面，
截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；
小圆--截面不过球心
性质3:
球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
有下面的关系:
A
例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
类型一　球的体积和表面积
例2
两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为
例1　一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为____.
类型二　与球有关的三视图问题
4π
例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积__________________
.
命题角度1　球的截面问题
类型三　球的截面及切接问题
例1　用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为______.
例2
一个球内有相距9
cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π
cm2和400π
cm2,
求球的表面积.
球与多面体的内切、外接
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球
切点：各个面的中心。
球心：正方体的中心。
直径：相对两个面中心连线。
o
球的直径等于正方体棱长。
正方体的内切球（边长为a）
球心：正方体的中心。
直径：体对角线。
正方体的内切球,
外接球两心重合
正方体的外接球（边长为a）
长方体的外接球
球心：长方体的体对角线交点。
直径：体对角线。
没有
如果一个长方体有内切球，
那么它一定是
正方体
一般的长方体有内切球吗？
正四面体与球
1.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
把正四面体补全为正方体,则正方体的边长为
故正四面体的外接球半径为
2.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？
所以
因为
所以
等体积法
A
B
C
M
O
R
R
边长为a正四面体的外接球，内切球还可利用直角三角形勾股定理来求
D
正四面体的外接球和内切球的球心重合，
是图中的O，则OS为外接球半径，
OM为内切球半径。
S
由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为
(h
为正四面体的高)，
且外接球的半径
，
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．
(3)正四面体内切球半径是高的
，外接球半径是高的
.
(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
命题角度2　与球有关的切、接问题
例3　(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
　　　　
9π
解析　如图所示，将正四面体补形成一个正方体.
设正四面体的棱长为a.
又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，
规律与方法
3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.