高中数学人教A版（2019）必修第一册教案：3.2.1单调性与最大（小）值（Word）

第三章
函数的概念与性质
3.2.1
单调性与最大（小）值
教学设计
一、教学目标
1.理解增函数、减函数的概念，经历概念的形成过程，会用函数增减性的概念判断函数在某一区间上的增减性，会求给定函数的单调性.
2.理解函数最大（小）值的概念及其几何意义，会求函数在某一区间上的最大（小）值.
3.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
二、教学重难点
1.
教学重点
理解函数单调性的概念；判断函数的单调性；求函数的最大（小）值.
2.
教学难点
判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）新课导入
上节我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.通过画图我们能更直接的研究函数的性质.
(学生分析P76的三个图形的性质，老师引导并补充)
（二）探索新知
探究一：实例探究
（引出单调性，从初中学过的二次函数图象入手，学生更容易理解，接受）
在初中，我们利用函数图，像研究过函数值随自变量的增大二增大（或减小）的性质，这一性质叫单调性.下面进一步用符号语言刻画这种性质.
先研究二次函数的单调性.
画出它的函数图象，可以看到：
图象在y轴左侧部分从左到右是下降，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时，我们就说函数在
区间上是单调递减的.
（老师分析函数左侧的图象，右侧的图象让学生讨论分析，老师及时补充纠正）
图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
（老师给学生时间分组讨论思考题，画出图象分析）
思考：函数各有怎样的单调性？
的图象如图(1)，图象在y轴左侧从左到右是下降的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上单调递减的.
类似地，在区间是单调递增的.
的图象如图(2)，图象在y轴左侧从左到右是上升的，也就是说，当x<0时，与y随x的增大而增大，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上是单调递增的.
类似地，在区间上是单调递减的.
探究二：单调性的定义
(从上面描述的三个图象中，可归纳总结出单调性的定义.)
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（同学分组讨论P77的第二个思考题，老师在学生的基础上在补充举例，让学生更全面的了解单调性的定义.）
探究三：单调性的应用
（老师把例题展示在PPT或黑板上，让学生独立思考后在进行讲解）
例1
根据定义，研究函数的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考查与0的大小关系.
解：函数的定义域是R.
，且，则
由，得.所以
①当k>0时，.于是，即.这时，是增函数.
②当k<0时，.于是，即.这时，是减函数.
例2
物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此应用函数的单调性证明.
分析：根据题意，只要证明函数是减函数即可.
证明：，且，则
由，得；
由，得.
又k>0，于是即
所以，根据函数单调性的定义，函数是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
例3
根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：，且，有
由，得
所以
又由，得
于是即.
所以，函数在区间上单调递增.
定义法判断函数单调性的一般步骤：
①取值：在指定区间内任取，且
②作差变形：作差，利用因式分解、配方等方法进行变形
③判号：判断的符号
④定论：确定函数的单调性
探究四：函数的最大（小）值
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
（学生仿照最大值定义给出最小值定义，老师在规范用词）
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
（老师提醒学生两条缺一不可，并说明其原因）
例4
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解：画出函数的图象，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
例5
已知函数，求函数的最大值和最小值.
分析：由函数的图象可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：，且，则
由，得，
于是，即.
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
（三）课堂练习
1.下列函数在上为减函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：对于A,对称轴是,在上为减函数，
对于B,在上为减函数，不合题意，
对于C,
上为增函数，不合题意，
对于D，是常函数，不合题意，
故选：A.
2.判断函数在上的单调性并证明你的结论
答案：在上是减函数，在上是增函数.
证明：设任意，则
又设,则
∴
∴在上是减函数
又设，则
∴
∴在上是增函数.
3.已知函数．
(1)
证明：函数在区间上是增函数；
(2)
求函数在区间上的最大值和最小值．
答案：（1）证明：；
设，则：；
∵；
∴，，；
∴；
∴；
∴在区间上是增函数；
（2）∵在上是增函数；
∴在区间上的最小值为，最大值为．
（四）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.单调性的定义
3.单调性的应用
4.函数最值
作业：
四、板书设计
3.2.1单调性与最大（小）值
1.单调性的定义
2.单调性的应用
3.单调性的解题步骤
4.函数的最大值最小值
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