2020年秋人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程——几何图形与一元二次方程课件（共24张PPT）

21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
九年级数学上（RJ）
教学课件
人教版九年级上册
学习目标
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题。
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力。
(60+2x)(40+2x)=3500
假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样的宽度木框，使它总面积达到3500cm2 ，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？
导入新知
引例1：用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.
B
探究新知
探究点 几何图形与一元二次方程
利用面积构造一元二次方程模型
引例2：如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________。
利用面积构造一元二次方程模型
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程：(22－x)(17－x)＝300。
解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300。
几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米.
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他解法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米.
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
变式一
20
32
x
x
x
20-x
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
变式二
32-2x
20
32
x
x
x
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
变式三
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
变式四
32cm
20cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(32-4x)(20-6x)= —×20×32
20㎝
32㎝
3x
2x
32-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
32-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
解：设AB长是x m.
(58-2x)x=200
x2-29x+100=0
x1=25，x2=4
x=25时，58-2x=8
x=4时，58-2x=50
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
解：设AB长是x m.
(80-2x)x=600
x2-40x+300=0
x1=10，x2=30
x=10时，80-2x=60>25，(舍去)
x=30时，80-2x=20<25，
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
变式 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
变式 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
化简，得 x2-13x+40=0
解得 x1=5，x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
方法点拨
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
课堂练习
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，? 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,
竖向彩条的宽度3xcm.
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
4.如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm?？
根据题意得AP= xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm?.
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
能力提升
归纳新知
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
动点面积问题