人教版八年级数学上册14.3.2 运用平方差公式分解因式课件(第1课时 共15张PPT)

14.3.2　公式法
第1课时　运用平方差公式分解因式
一、教学目标
1．理解整式乘法与分解因式的互逆变形关系，并会用平方差公式进行因式分解．
2．通过自己的实践活动去领悟、分析，总结技能、技巧，树立学习的自信心．
重点
难点
二、教学重难点
运用平方差公式进行因式分解．
熟练运用平方差公式进行因式分解．
活动1 新课导入
三、教学设计
1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______．
2．计算：
(1) (x＋2)(x－2)＝______；
(2) (2m＋3n)(2m－3n)＝________；
(3) [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝____．
4xy
a2－b2
x2－4
4m2－9n2
活动2 探究新知
1、思考
多项式 a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
( a + b)( a – b )
提出问题：
(1) 整式乘法的平方差公式是什么？
(2) 多项式 a2－b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
2、例4 分解因式：
（1） x4 – y4 ； （2）a3b – ab .
分析：对于(1)， x 4 – y 4 可以写成(x2) 2 – (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了；对于(2)， a3b – ab 有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1) x 4 – y 4
= (x 2 +y 2)(x 2 – y 2)
= (x 2 +y 2)(x + y)(x – y)；
(2) a3b – ab
= ab(a2 – 1)
= ab(a+1)(a – 1)；
提出问题：
(1) x2＋y2还能继续分解因式吗？x2－y2呢？
(2) 由x4－y4分解因式的结果，你从中得到什么启发？
(3) a3b－ab能直接用平方差公式分解因式吗？由此题你得到了什么启发？
活动3 知识归纳
1．平方差公式：a2－b2＝___________．即两个数的平方差，等于_______________________________．
2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都__________为止．
3．因式分解的一般步骤是：若有公因式，应先提取______，然后再运用公式分解因式．
(a＋b)(a－b)
这两个数的和与这两个数的差的积
不能再分解
公因式
活动4 例题与练习
例1 分解因式：
(1) 4x? – 9 ； (2) ( x + p )? – ( x + q )? ；
分析：在(1)中， 4x? = (2x)?，9 = 3?，4x? – 9= (2x)? –3?.
即可用平方差公式分解因式；在(2)中，把 x + p 和 x +
q 各看成一个整体，设x + p= m， x + q= n，则原式化
为m?+ n?.
解： (1) 4x? – 9
= (2x)? – 3?
= (2x + 3) (2x – 3)；
(2) ( x + p )? – ( x + q )?
= [(x + p) +(x + q)] [(x + p) – (x + q)]
= (2x + p + q) (p – q).
例2　分解因式：
(1) x2y－4y；
解：原式＝ y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(2) (a＋1)2－1；
解：原式＝ (a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(3) x4－1；
解：原式＝ (x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(4) －2(x－y)2＋32；
解：原式 ＝－2[(x－y)2－16]
＝－2(x－y＋4)(x－y－4)；
(5) (x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
解：原式 ＝ [(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝ (x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝ 2y(2x＋2z)
＝ 4y(x＋z)．
例3　求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得
(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.
∵8n是8的n倍，
∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
练 习
1．教材P117　练习第1，2题．
2．因式分解：
(1) －1＋0.09x2；　　　　(2) x2(x－y)＋y2(y－x)；
解：原式＝(0.3x＋1)(0.3x－1);
解：原式＝(x＋y)(x－y)2；
(3) a5－a; (4) (a＋2b)2－4(a－b)2.
解：原式＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1);
解：原式＝3a(4b－a)．
3．已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝6，x－y＝2，
∴x＋y＝3.
联立 解得