第一章 空间几何体 单元测试（含解析）

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第一章　空间几何体单元测试（解析版）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下面多面体中有12条棱的是(　　)
A.四棱柱
B.四棱锥
C.五棱锥
D.五棱柱
答案　A
解析　∵n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A.
2.棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案　A
解析　三棱锥的侧面和底面均为三角形.
3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
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必修2\\03\\P193.TIF"
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A.　　　　　　
B.1
C.
D.2
答案　D
解析　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.
4.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为(　　)
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A.5π
B.4π
C.3π
D.2π
答案　A
解析　由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，
∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，
∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，
∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π.
5.以长为8
cm，宽为6
cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)
A.64π
cm2
B.36π
cm2
C.64π
cm2或36π
cm2
D.48π
cm2
答案　C
解析　分别以长为8
cm，宽为6
cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确.
6.将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6
cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　)
A.6
cm
B.6
cm
C.2
cm
D.3
cm
答案　B
解析　设圆锥中水的底面半径为r
cm，由题意知
πr2×r＝π×22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6(cm).
7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　　)
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A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形
答案　C
8.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
9.如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
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答案　D
解析　四边形D1MBN在上下底面的正投影为选项A；在前后面上的正投影为选项B；在左右面上的正投影为选项C.故选D.
10.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　易知V＝1－8×××××＝.
11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A.3π
B.6π
C.18π
D.24π
答案　B
解析　将三棱锥补成边长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π.
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
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A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
答案　B
解析　米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，
设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，
÷1.62≈22(斛).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
答案　2
解析　S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
14.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点.记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
答案　
解析　如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面PAD的距离为h.
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∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝＝＝.
15.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)
答案　
解析　如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝＝，所以圆锥的容积为πr2h＝.
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16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________.
答案　48
解析　设球的半径为r，
则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积.
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解　由已知得，该几何体为一个棱台，
其侧面的高h′＝＝.
故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12，
所以该几何体的表面积为20＋12，
体积V＝(42＋22＋2×4)×3＝28.
18.(12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
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解　如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝.
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所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC
＝×2＋×1＝.
19.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
cm，两底面直径分别为40
cm和30
cm.求纸篓的表面积.
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解　根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15
cm，上口的半径r＝20
cm，设母线长为l，
则纸篓的表面积S＝πr′2＋
＝π(r′2＋r′l＋rl)
＝π(152＋15×50＋20×50)＝1
975π(cm2).
20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.
(1)求圆柱的体积；
(2)求溢出水的体积.
解　(1)∵内壁底面半径为5，高为2，∴圆柱体积V＝π×52×2＝50π.
(2)溢出水的体积为×π×33＝36π.
21.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
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解　由题图可知半球的半径为4
cm，
所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πR2h＝π×42×12＝64π(cm3).
因为V半球22.(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长.
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解　(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，
所以对角线的长为＝.
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A版
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(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示.
设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
因为MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2.
又因为NC∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝.
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精品试卷·第
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