六年级上册数学讲义-小升初培优：第01讲 复杂行程问题（一）相遇追及问题（解析版）全国通用

第一讲 复杂行程问题（一）
相遇追及问题


一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？
【解析】求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。
解答：剩下的路程为300－120＝180（千米），计划总时间为：300÷50＝6（小时），剩下的路程计划用时为：6－120÷40＝3（小时），剩下的路程速度应为：180÷3＝60（千米/小时），即剩下的路程应以60千米/时行驶。
一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？
【解析】求路程，需要速度和时间，题目中来回速度及总时间已知，我们可以选择两种方法：一是求往、返各用多少时间，再与速度相乘，二是求平均速度与总时间相乘，下面给出求往返时间的方法。
解答：设飞机去时顺风飞行时间t小时，则：1500×t＝1200×(6－t)，2700×t＝7200，t＝8/3(小时)，飞机飞行距离为1500×8÷3＝4000（千米）。
评注：本题利用比例可以更直接求得往、返的时速，往返速度比5：4，因此时间比为4：5，又由总时间6小时即可求得往、返分别用时，在往返的问题中一定要充分利用往返路程相同这个条件。
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地距离。
【解析】已知与中心处的距离，即是知道两车行程之差，这是本题关键。甲车在相遇时比乙车多走了：8×2＝16（千米），由甲车速度是乙的1.2倍，相遇时所走路程甲也是乙的1.2倍，由此可知乙所走路程为16÷（1.2－1）＝80(千米)，两地距离为（80＋8）×2＝176（千米）。
解答：即两地相距176千米。
评注：有效利用各种形式的条件也是重要的技巧。
某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：他步行了多远？
【解析】如果5.5小时全部乘拖拉机，可以行进：18×5.5＝99(千米)，其中99－60＝39（千米），这39千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求行走的时间为39÷（18－5）＝3（小时），即这个走了3个小时，距离为5×3＝15（千米）。
解答：这个人步行了15千米。
评注：在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程并和速度差求时间非常重要的方法。
甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米。出发一段时间后，两人在距中点100米处相遇。如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，两人还将在距中点250米处相遇。那么甲在途中停留了多少分钟？
【解析】两人在距中点100米处相遇，这时候甲比乙多行100×2＝200 (米)，所以它们行驶时间为 200÷（70－50）＝10 (分钟)。AB两地路程为10×（70＋50）＝1200 (米)。甲出发后在途中停留了一会儿，而它们相距中点250米，所以必然是乙比甲走的路程多250×2＝500 (米)，所以乙行驶了（1200＋500）÷2＝850 (米)。甲行驶了1200－850＝350 (米)。乙行驶时间为850÷50＝17 (分钟)。甲行驶了350÷70＝5 (分钟)。所以甲途中停留时间为17－5＝12 (分钟)。
解答：甲在途中停留了12分钟。
甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达。求A、B两地间的距离。
【解析】假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：20×8＝160（千米），这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：160÷2＝80（千米/小时），乙车到达时用了：8－2＝6（小时），A、B两地间的距离：80×6＝480（千米）。
解答：A、B两地间的距离是480千米。
甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟了1小时到达B地。A、B两地间的路程是多少？
【解析】甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答。即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：3－1＝2（小时），乙车2小时行的路程是：40×2＝80（千米），甲车每小时比乙车多行的路程是：50－40＝10（千米），甲车所需的时间是：80÷10＝8（小时），A、B两地间的路程是：50×8＝400（千米）。
解答：A、B两地间的路程是400千米。
一列客车与一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后，两车相距342千米，求两车速度。
【解析】已知两车行进总路程及时间，这是典型的相遇问题。
两车速度和为：342÷3＝114（千米/小时），货车速度为（114＋6）÷2＝60（千米/时），客车速度为114－60＝54（千米/时）。
解答：客车速度54千米/时，货车速度为60千米/时。
评注：所谓“相遇问题”并不一定是两人相向而行并相遇的问题，一般地，利用距离和及速度和解题的一类题目也可以称为一类特殊的相遇问题。
甲、乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。
【解析】题目中没有给任何卡车与甲车相遇前或与乙车相遇后的情况，因此只能分析卡车从与甲车相遇到乙车相遇这段时间的问题。
卡车从甲车相遇到与乙车相遇这段时间与乙车在做一个相遇运动，距离为出发6小时时，甲、乙两车的距离差：（52－40）×6＝72（千米），因此卡车与乙车速度和为：72÷1＝72（千米/时），卡车速度为72－40＝32（千米/时）。
解答：这辆卡车速度为32千米/时。
评注：在比较复杂的运动中，选取适当时间段和对象求解是非常重要的。
一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
【解析】慢车先行的路程是：40×5＝200（千米），快车每小时追上慢车的千米数是：90－40＝50（千米），追及的时间是：200÷50＝4（小时），快车行至中点所行的路程是：90×4＝360（千米），甲乙两地间的路程是：360×2＝720（千米）。
解答：甲乙两地相距720千米。
中国古代数学著作—《张丘建算经》
《张丘建算经》三卷，据_é?±??????_考，约成书于公元466～485年间。张丘建，北魏时清河(今山东临清一带)人。_????°?????????°_的应用、_????·???°???_各元素互求以及“_???é?????_”等是其主要成就。“_???é?????_”是世界著名的_??????????¨?_问题，13世纪意大利_??????é?????_《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西<<算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。