六年级上册数学讲义-小升初培优：第02讲幻方（解析版）全国通用

第二讲 幻方


请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种）
【解析】方法一：
第一步——求幻和：幻和为（2009＋2010＋2011＋2012＋2013＋2014＋2015＋2016＋2017）÷3＝6039；
第二步——求中心数：中心数为6039÷3＝2013；
第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数；
第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解；以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
答案如图所示。
方法二：与1-9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008；
根据1-9的3阶阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。
在下面的方格中填上合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数是多少？
【解析】20＋8－18＝10，（20＋10）÷2＝15，即图中涂上阴影的方格所填的数为15。
请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。（只要构造出一种）
【解析】因为3阶幻方的幻和为2010；所以，中心数为2010÷3＝670。与1-9的3阶幻方的中心数5相比，中心数增加了670－5＝665或者放大了670÷5＝134或者先增加62再放大10者先放大150再减小80。
根据1-9的3阶阶幻方的图，将每个方格上的数“＋665”或者“×134”或者“先＋62再×10”或者“先×150再－80”可以求出原题的答案。答案如图所示，答案不惟一。
可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻方。
图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数是多少？
【解析】根据幻方中数字的关系，左上角的数是（13＋19）÷2＝32÷2＝16。
如图，用1-9这九个数字补全三阶幻方，并求出幻和是多少？
【解析】中心数为5，那么幻和为5×3＝15。
在图的空格中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线的四个数之和等于264，求A＋B－C＋D＋E－F＋G－H的结果是多少？
【解析】填数，四阶幻方。A＋B－C＋D＋E－F＋G－H＝16。
把1-9九个数分别填入如图所示的九个小圆圈内，使图中的大小六个圆，每个圆上的数字和相等。
【解析】填数，数阵图。因为4小圆上的数字和相等；所以4小圆上除去中间的小圆圈内的数字其它3个小圆圈内的数字和相等；（相等于三阶幻方中有2行、2列上的数相等）所以本题的解题思路实际上是三阶幻方（九宫格）的变形，如图一所示为一个三阶幻方；如图二所示是将这个三阶幻方变形的数阵图。
如图，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。
【解析】中心数＝（6＋8）÷2＝7。
如图所示，9个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。现在58和152两个数已给出，那么“？”等于多少？
【解析】中心数＝（58＋152）÷2＝105。
将11-19填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

【解析】11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝135，可见重叠数为奇数：11、13、15、17、19，那么可得答案如下图所示：
唐僧师徒摘桃子
　　一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
　　沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的_??????_，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？