六年级上册数学讲义-小升初培优：第03讲 牛吃草问题（解析版）全国通用

第三讲 牛吃草问题


有一片牧场，草每天都在均匀生长，如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。请问：
要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？
如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？
【解析】设一头牛一天吃的草量为1份。
如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了，24头牛6天一共吃草：24×6=144份。
如果放养21头牛，那么8天就把草吃完了，21头牛8天一共吃草：21×8=168份。
对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为21头牛比24头牛多吃了2天，因此草每天生长（168－144）÷2=12份，于是草地原有草的总量为144－12×6=72份。
解答：（1）要使得草永远吃不完，则每天的吃草量不能超过长草量，最多可以放12头牛。
（2）放养的36头牛中有12头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要72÷（36－12）=3天。
进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，草会均匀地减少。现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天。如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？
【解析】设一只羊一天吃的草量为1份。可以供38只羊吃25天，则吃草总量：38×25=950份。可以供30只羊吃30天，则吃草总量：30×30=900份。
对比两次吃草的总量，发现5天草减少的量为950－900=50份，因此草每天减少的量为50÷5=10份，原有草的总量为950＋10×25=1200份。
现在有20只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20份草以外，还会自己减少10份草。
解答：这片牧场可以吃1200÷（20＋10）＝40天。
有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了。请问：
如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？
要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？
【解析】设一头牛一天吃的草量为1份。
如果放养18头牛，那么10天就把草吃完了，18头牛10天一共吃草：18×10＝180份。
如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了，24头牛7天一共吃草：24×7＝168份。
对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为18头牛比24头牛多吃了3天，因此草每天生长（180－168）÷3＝4份，于是草地原有草的总量为180－4×10＝140份。
解答：（1）放养的36头牛中有12头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要140÷（32－4）＝5天。
（2）要恰好14天吃完，那么最后吃的总草量为140＋4×14＝196份，因此要在14天内吃完需要196÷14＝14牛。
有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？
【解析】设一头牛一天吃的草量为1份。
如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了，24头牛6天一共吃草：24×6＝144份。
如果放养21头牛，那么8天就把草吃完了，21头牛8天一共吃草：21×8＝168份。
对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为21头牛比24头牛多吃了2天，因此草每天生长（168－144）÷2＝12份，于是草地原有草的总量为144－12×6＝72份。
解答：（1）要使得草永远吃不完，则每天的吃草量不能超过长草量，最多可以放12头牛
（2）放养的36头牛中有12头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要72÷（36－12）＝3天。
一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同。如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？
【解析】设每根进水管每分钟的进水量为1份。24根进水管5分钟的总进水量为：24×5＝120份。12根进水管8分钟的总进水量为：12×8＝96份。第二次比第一次进水少，是因为第二次比第一次雨水多注入了3分钟，因此雨水每分钟的进水量（120－96）÷3＝8份。于是整个水池装满的水共有120＋8×5＝160份。现在打开8根进水管，那么每分钟注入水池的除了这些进水管之外还有雨水，因此注满水池需要160÷（8＋8）＝10分钟。
解答：10分钟能将水池注满。
把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？
【解析】设1头牛每天吃1份草。因为第一块5公顷的草地可以供10头牛吃30天，所以15公顷的草地可以供30头牛吃30天，此时总吃草量为30×30=900份。又由已知条件，第二块草地15公顷可以供28头牛吃45天，这时总吃草量为28×45＝1260份。因此15公顷草地上草的生长速度为每天（1260-900）÷（45-30）24份，15公顷草地原有草的总量为900－24×30＝180份。那么15公顷草地能供180÷80＋24＝头牛吃80天。因为整片草地是均匀的，所以24公顷草地可以供头牛吃80天。
解答：第三块草地可以供40头牛吃80天。
画展9时开门，但早有人来排队等候入场，从第一个观众来时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开了3个入场口，9时9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，9时5分就没人排队。那么第一个观众到达的时间是几时几分？
【解析】此题每分钟来的观众人数就相当于牧草的生长量，3个入场口相当于有3头牛在吃草，所以3个入场口9分钟可以进3×9＝27（份）观众；5个入场口5分钟可以进5×5＝25（份）观众，那么每分钟来的观众人数就是（27－25）÷（9－5）＝0.5（份）。原有排队的观众供27－0.5×9＝22.5（份）。这22.5份观众按每分钟来0.5份算需要22.5÷0.5＝45（分钟）才能全部到达。
解答：第一个观众到达的时间是8时15分。
有一片匀速生长的草地，可以供10头牛吃20天，或者供15头牛吃10天，那么这片草地上每天生长出的草量可以供几头牛吃1天？
【解析】设每头牛每天吃1份草，则10头牛20天吃了200份，15头牛10天吃了150份，相差了50份。而相差的这50份是因为草地多长了10天造成的，因此草地每天的长草量为50÷10＝5份。
解答：可供5头牛吃1天。
一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？
【解析】设一头牛一天吃的草量为1份。如果15头牛8天吃完，一共吃了15×8＝120份草。
如果15头牛先吃2天，来2头牛再吃5天，一共吃了15×2＋（15×2）×5＝115份草。
对比两个条件，第一次比第二次多吃饿了120－115＝5份草，而第一次比第二次草多长了8－7＝1天，因此草每天生长了5÷1＝5份，原有草的总量为120－5×8＝80份。
现在有15头牛，让其中的5途牛专吃新长出的草，那么吃了2天后，草地还剩下80－（15－5）×2＝60份，又来了5头后，还可以再吃60÷（20－5）＝4天。
解答：再过4天可以把草吃完。
第一、二、三号牧场的面积一次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
【解析】设一头牛一天吃的草量为1份，依题意，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此1公顷的草地可供5头牛吃2天，那么5公顷的草地可供25头牛吃2天，共吃了25×2＝50份，这50份中包括原有的草和2天生长的草。另一方面，由题目条件，第二片牧场5公顷草地生长2天后可供15头牛吃5天，共吃了15×5＝75份，这75份中包括原有的草和7天生长的草。因此，5公顷草地上草的生长速度为每天（75－50）÷（7÷2）＝5份，5公顷草地上原有草总量为50－5×2＝40份。于是第三片牧场上草的生长速度为每天5÷5×7＝7份，原有草总量为40÷5×7＝56份。那么要7天把第三片草地吃完，共需要吃56＋7×7＝105份草。因此第二群牛共有105÷7＝15头。
解答：第二群牛有15头。
陶哲轩，华裔科学家，1975年7月15日，陶哲轩出生在澳大利亚阿得雷德，是家中的长子。现任教于美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系，澳洲惟一荣获数学最高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授，继1982年的丘成桐之后获此殊荣的第二位华人。其于1996年获普林斯顿大学博士学位后任教于 UCLA，24岁时便被UCLA聘为正教授。