六年级上册数学讲义-小升初培优：第03讲 复杂行程问题（三）多次相遇问题（解析版）全国通用
文档属性
| 名称 | 六年级上册数学讲义-小升初培优：第03讲 复杂行程问题（三）多次相遇问题（解析版）全国通用 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-27 08:06:28 | ||
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文档简介
第三讲 复杂行程问题（三）
多次相遇问题
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
【解析】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，即相遇时，甲行了80千米，即每共行一个全程，甲就行80千米，第二次相遇时，甲乙共行3个全程，则此时甲行了80×3＝240千米，第二次在距B地60千米处相遇，则甲乙两地相距240-60＝180千米。80×3-60＝240-60＝180（千米）。
解答：A、B两地相距180千米。
兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
【解析】本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30米，因此第十次相遇时二人共走了：30×10＝300（米），两人所用时间为：300÷（1.3＋1.2）＝120(秒)，妹妹走了：1.2×120＝144(米)，由于30米一圈。
解答：妹妹再走6米才能回到出发点。
甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的2倍，请问：
（1）甲、乙两车第一次迎面相遇在距离A地多少千米处？
（2）甲、乙两车第二次迎面相遇在距离A地多少千米处？
【解析】第一次迎面相遇时，甲走了600÷（2＋1）×2＝400千米，第二次迎面相遇时，甲走了600×3÷（2＋1）×2＝1200千米。
解答：（1）距离A地400千米；（2）就在A地。
甲、乙两车同时从 A、B两地同时出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，请问：
（1）出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇？
（2）第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次迎面相遇？
（3）第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇？
【解析】请老师画出想对应的线段图，根据线段图求解。（1）第一次迎面相遇，两车的路程和是两个全程。（2）从第一次相遇之后到第二次相遇，两车的路程和还是两个全程。（3）第三次迎面相遇同理。
300×2÷（30＋20）＝12小时
解答：（1）12小时；（2）12小时；（3）12小时。
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【解析】画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）。这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）。按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）。但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）。少骑行 24-16＝8（千米）。摩托车的速度是 8÷8＝1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟。8＋8＋16＝32。
解答：所以这时是8点32分。
甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路的两端A、B出发，当他们跑了12分钟后，共相遇几次？
【解析】多次相遇，先计算甲乙两人分别走一个全程需要的时间:甲需要30秒，乙需要45秒。而后作如下所示的柳卡图，甲用实线表示，乙用虚线表示。
在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。
解答：甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5＝20次。
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜。试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】画柳卡图
这是一张运行图，在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约。那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示。图中的每条线段分别表示每条船的运行情况。粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况。
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）。而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜。
解答：15艘。
甲、乙两车同时从 A、B两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米。两车继续各自前行，分别到达 B、A两地后迅速返回，不作停留，在离A地70千米第二次相遇，A、B两地间的距离为多少千米？
【解析】第一次相遇时，甲乙共行了A、B间的一个全程在距A地150千米处相遇，甲车是从A地出发的，所以，此时甲车行了150千米；第二次相遇时，甲乙共行了A、B间的三个全程，按照比例，此时甲车应该行了150×3＝450（千米）；第二次在距A地70千米处相遇，也就是说，甲车再行70千米就行了A、B间的两个全程；所以A、B两地距离 （150×3+70）÷2 ＝260千米。
解答：A、 B两地间的距离为260千米。
小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【解析】画示意图如下。
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5×3＝10.5（千米）。从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米。因此，甲、乙两村距离是 10.5-2＝8.5（千米）。每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程。第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程。其中张走了 3.5×7＝24.5（千米），24.5＝8.5＋8.5＋7.5（千米）。
就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5＝1（千米）。
解答：第四次相遇地点离乙村 1 千米。
黑、白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米。若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行。多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停地跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
【解析】两只小猫的速度和是5＋7＝12米/秒。第一次相遇时，两只小猫跑过的路程和是环形路线的周长，所以它们一共跑了300÷12＝25秒。第二次相遇时，两只小猫一共又跑了一个周长，所以它们又跑了300÷12＝25秒。依此类推，每25秒两只小猫相遇一次由于2分钟共120秒，120÷25＝4……20，因此2分钟内两只小猫一共相遇4次。
解答：25秒；4次。
中国古代数学著作—《黄帝九章算经细草》
中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“_è????????è§?_”（二项展开_?????°_表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉，原书遗失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“_??¨è?????è§?_”，〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。
贾宪三角在西方文献中称“_????????????è§?_”，1654年为法国数学家帕斯卡重新发现。
多次相遇问题
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。A、B两地相距多少千米？
【解析】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，即相遇时，甲行了80千米，即每共行一个全程，甲就行80千米，第二次相遇时，甲乙共行3个全程，则此时甲行了80×3＝240千米，第二次在距B地60千米处相遇，则甲乙两地相距240-60＝180千米。80×3-60＝240-60＝180（千米）。
解答：A、B两地相距180千米。
兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
【解析】本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30米，因此第十次相遇时二人共走了：30×10＝300（米），两人所用时间为：300÷（1.3＋1.2）＝120(秒)，妹妹走了：1.2×120＝144(米)，由于30米一圈。
解答：妹妹再走6米才能回到出发点。
甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的2倍，请问：
（1）甲、乙两车第一次迎面相遇在距离A地多少千米处？
（2）甲、乙两车第二次迎面相遇在距离A地多少千米处？
【解析】第一次迎面相遇时，甲走了600÷（2＋1）×2＝400千米，第二次迎面相遇时，甲走了600×3÷（2＋1）×2＝1200千米。
解答：（1）距离A地400千米；（2）就在A地。
甲、乙两车同时从 A、B两地同时出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，请问：
（1）出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇？
（2）第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次迎面相遇？
（3）第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇？
【解析】请老师画出想对应的线段图，根据线段图求解。（1）第一次迎面相遇，两车的路程和是两个全程。（2）从第一次相遇之后到第二次相遇，两车的路程和还是两个全程。（3）第三次迎面相遇同理。
300×2÷（30＋20）＝12小时
解答：（1）12小时；（2）12小时；（3）12小时。
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【解析】画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）。这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）。按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）。但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）。少骑行 24-16＝8（千米）。摩托车的速度是 8÷8＝1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟。8＋8＋16＝32。
解答：所以这时是8点32分。
甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路的两端A、B出发，当他们跑了12分钟后，共相遇几次？
【解析】多次相遇，先计算甲乙两人分别走一个全程需要的时间:甲需要30秒，乙需要45秒。而后作如下所示的柳卡图，甲用实线表示，乙用虚线表示。
在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。
解答：甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5＝20次。
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜。试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】画柳卡图
这是一张运行图，在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约。那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示。图中的每条线段分别表示每条船的运行情况。粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况。
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）。而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜。
解答：15艘。
甲、乙两车同时从 A、B两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米。两车继续各自前行，分别到达 B、A两地后迅速返回，不作停留，在离A地70千米第二次相遇，A、B两地间的距离为多少千米？
【解析】第一次相遇时，甲乙共行了A、B间的一个全程在距A地150千米处相遇，甲车是从A地出发的，所以，此时甲车行了150千米；第二次相遇时，甲乙共行了A、B间的三个全程，按照比例，此时甲车应该行了150×3＝450（千米）；第二次在距A地70千米处相遇，也就是说，甲车再行70千米就行了A、B间的两个全程；所以A、B两地距离 （150×3+70）÷2 ＝260千米。
解答：A、 B两地间的距离为260千米。
小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【解析】画示意图如下。
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了3.5×3＝10.5（千米）。从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米。因此，甲、乙两村距离是 10.5-2＝8.5（千米）。每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程。第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程。其中张走了 3.5×7＝24.5（千米），24.5＝8.5＋8.5＋7.5（千米）。
就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5＝1（千米）。
解答：第四次相遇地点离乙村 1 千米。
黑、白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米。若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行。多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停地跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
【解析】两只小猫的速度和是5＋7＝12米/秒。第一次相遇时，两只小猫跑过的路程和是环形路线的周长，所以它们一共跑了300÷12＝25秒。第二次相遇时，两只小猫一共又跑了一个周长，所以它们又跑了300÷12＝25秒。依此类推，每25秒两只小猫相遇一次由于2分钟共120秒，120÷25＝4……20，因此2分钟内两只小猫一共相遇4次。
解答：25秒；4次。
中国古代数学著作—《黄帝九章算经细草》
中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“_è????????è§?_”（二项展开_?????°_表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉，原书遗失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“_??¨è?????è§?_”，〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。
贾宪三角在西方文献中称“_????????????è§?_”，1654年为法国数学家帕斯卡重新发现。
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