六年级上册数学讲义-小升初培优：第03讲 枚举法 （解析版）全国通用

第三讲 枚举法


用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个去称重（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？
【解析】共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个，两个或者是三个来称不同的重量。
取出一个：1克，3克，9克
取出两个：（1克和3克，4克）（1克和9克，10克）（3克和9克，12克）
取出三个：（1克3克9克，13克）
解答：共有7种不同的重量。
课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一个人。到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应该是第几号？
【解析】根据题目的特点要求一一列举出来。第一次站出来的是：（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29）；第二次站出来的是：（2，6，10，14，18，22，26，30）；第三次站出来的是：（4，12，20，28）；第四次站出来的是：（8，24）；第五次站出来的是：（16）。
解答：到第5次所有的人都能站出来，最后站出来的是：16号。
从3，5，7，8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数。能排多少个不同的三位数？最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
【解析】从3，5，7，8任取3张有4种不同的取法。①3，5，7：（357）（375）（537）（573）（735）（753）；②3，5，8：（358）（385）（538）（583）（835）（853）；③3，7，8：（378）（387）(738) (783) (837) (873)；④5，7，8：（578）（587）（758）（785）（857）（875）。
解答：可以排24种不同的三位数，最大的三位数是：875，最小的三位数是357。
有面值100元、50元、20元、10元、5元和1元的纸币共16张，每种币值至少有1张，总币值为200元。其中面值1元的钱币有多少张？
【解析】 每种币值至少有1张，所以100＋50＋20＋10＋5＋1＝186元，共6张，还差16-6＝10张，200-186＝14元，14＝10＋1＋1＋1＋1，共5张；14＝5＋5＋1＋1＋1＋1，共6张；14＝5＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，共10张；14＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，共14张。
解答：1元的钱币有1＋10-1＝10（张）。
将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
【解析】列举我们发现给这些方格涂色时，要使每列的三小格颜色不同，最多有种不同的涂法，

解答：不同意。将其作为6个抽屉，因为表中有7列，由抽屉原理，至少有两列涂色方式相同。
老师给至慧兔7个相同的作业本，
（1）如果至慧兔把这些本子全都分给熊猫胖胖、迷你猫和乐羊羊，每人至少要有一本，有多少种不同的分法？
（2）如果至慧兔只需要把这些本子分成3堆，又有多少种不同的分法？
【解析】（1）列表法解决问题。
熊猫胖胖 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5
迷你猫 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1
乐羊羊 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1
（2）
第一堆 1 1 1 2
第二堆 1 2 3 2
第三堆 5 4 3 3
解答：（1）15种；（2）4种。
请问在100～999之间有多少个这样的整数，它的个位上的数字与十位上的数字的乘积等于百位上的数？
【解析】按照百位来分类：百位1：111，1个；百位2：212，221，2个；百位3：313，331，2个；百位4：414，441，422，3个；百位5：515，551，2个；百位6：616，661，623，632，4个；百位7：717，771，2个；百位8：818，881，824，842，4个；百位9：919，991，933，3个；
解答：共有23个。
张奶奶去超市买了12盒牛奶，这些牛奶要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒，张奶奶一共有几种不同的方法？
【解析】由每个袋子最多只能装10盒，装的少的“小袋子”中最少放2盒牛奶，而共买了12盒牛奶，则装的少的“小袋子”中最多放6盒牛奶，那么就有2盒，3盒，4盒，5盒，6盒这5种情况，把相应的分法填入下表：
“小袋子”中牛奶的盒数 2 3 4 5 6
“大袋子”中牛奶的盒数 10 9 8 7 6
解答：一共有5种方法。
小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱，至慧兔一共有6元钱。如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？
【解析】由于买的大烧饼不能超过3个。则分别考虑买的大烧饼有0个、1个、2个、3个这四种情况。剩下的钱用来买小烧饼。
解答：一共有4种不同的买法。
两个海盗分20枚金币。请问：
如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的方法？
如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的方法？
【解析】（1）由两个海盗最少分得5枚金币，得最多分得20－5＝15枚金币。所以第一个海盗的可能分得金币的情况有5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15共11种。
（2）由每个海盗最多分得16枚金币，那么每人最少分得20－16＝4枚金币。所以第一个海盗的可能分得金币的情况有4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16共13种。
解答：（1）11种；（2）13种。
苏步青的故事
_??????_科学院院士，中国杰出的_??°??????_，被誉为数学之王，与棋王_è°????é??_、新闻王_é?????é??_并称“平阳三王”，主要从事微分_??????_学和计算几何学等方面的研究。他在_????°????????????????_和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在_???è?????é?????????????????_、高维空间共轭理论、几何外型设计、_è????????è???????????è??è??_等方面取得突出成就。曾任_???????§????é?????é?¨?§????_、多届全国_???????§????_、全国_????¤§???è?¨_，第五、_???????±???¨???????¤§????§????_委员，第七、八届全国政协副主席和民盟中央副主席，_????±??¤§???_数学系主任、_?¤?????¤§???_校长等职。1978年获全国科学大会奖。
苏步青的研究方向主要是_????????????_。1872年，_??·???_数学家F．_???è?±???_（Klein）提出了著名的“_??±?°???°_根计划书”，在其中总结了当时几何学发展的情况，认为每一种几何学都联系一种变换群，每种几何学所研究的内容就是在这些变换群下的不变性质。除了欧氏空间运动群之外，最为人们所熟悉的有仿射变换群和射影变换群。因而，在19世纪末期和本世纪的最初三四十年中，仿射_???????????????_和射影微分几何学都得到很迅速的发展，苏步青的大部分研究工作是属于这个方向的。此外，他还致力于_???è?????é?????????????????_和计算几何学的研究。一共发表了156篇_??????è?????_，并有专著和教材十多部。他的不少成果已被许多国家的数学家大量引用或作为重要的内容被写进他们的专著。