六年级上册数学讲义-小升初培优：第04讲 复杂行程问题（四）流水行程问题（解析版）全国通用

第四讲 复杂行程问题（四）
流水行程问题


一艘客船在两个码头间航行顺水5小时行完全程，逆水7小时行完全程，水速是5千米，客船在静水中每小时行多少千米？
【解析】解设静水中每小时行x千米，5（x+5）=7（x-5），x=30。
解答：静水中每小时行30千米。
甲、乙两港口间的水路长208千米，一艘船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流的速度。
【解析】要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水和逆水所行的时间求出。最后再利用和差的逆运算关系求船速和水速。
顺水速度：208÷8＝26（千米/小时）
逆水速度：208÷13＝16(千米/小时)
静水船速：(26十16)÷2- 21（千米/小时）
水流速度：(26 -16)÷2＝5（千米/小时）
解答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流的速度每小时5千米。
一艘轮船在静水中的速度是每小时21千米，船从甲港开出，逆水航行了8小时，到达相距144千米的乙港，这艘轮船从乙港返回甲港需要多少小时？
【解析】要想求返回时间，就需要用两港之间的距离除以返回时的顺水速度。顺水速度等于静水中的船速加上水速，水速又等于静水中的船速减去逆水速度。
144÷8=18（千米/小时）144÷[21+(21-18)]=6（小时）
解答：返回需要6小时。
此类问题的关键，是抓住速度的变化，同时注重水流的方向带来的顺水和逆水的变化。
接着我们继续研究两只船在河流中相遇问题。
当甲乙两船在江河里相向开出，它们单位时间里靠拢的路程等于甲乙两船的速度和。
这是因为：
甲船顺水速度+乙船逆水速度＝（甲船速+水速）+（乙船速-水速）
＝ 甲船速+乙船速
或 甲船逆水速度+乙船顺水速度＝（甲船速-水速）+（乙船速+水速）
＝甲船速+乙船速
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速 没有关系。
同样道理，如果两只船同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关。这是因为：
甲船顺水速度一乙船顺水速度＝（甲船速+水速）-（乙船速+水速）
＝甲船速-乙船速
或 甲船逆水速度一乙船逆水速度＝（甲船速一水速）-（乙船速一水速）
= 甲船速-乙船速
这也说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
综上所述，流水问题中的相遇和追及问题，由于水速的抵消，实际可以等同于前面讲的陆地上的相遇和追及问题。
甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米，一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时？
【解析】要求这艘船一共航行多少小时，就要求出在甲河中顺行133千米所需的时间。沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，说明这艘船在乙河中的逆水速度为：84÷6=14（千米/小时），已知乙河水流速度为每小时2千米，则船在静水中速度为：14+2=16（千米/小时）；那么，这艘船在甲河中的顺水速度为：16+3=19（千米/小时），在甲河中顺水航行133千米需要：133÷19=7（小时）；
解答：这艘船一共航行：6+7=13（小时）。
两个码头相距120千米，一艘轮船顺流航行105千米，逆流航行60千米，共用12小时；顺流航行60千米，逆流航行132千米共用15小时。求这艘轮船在这两个码头间往返一次需用多少小时？
【解析】要求往返所需时间，已知路程，只需求出船顺流和逆流的航行速度。
顺流航行105千米，逆流航行60千米，共用12小时，扩大4倍，即顺流航行420千米，逆流航行240千米，共用48小时；
顺流航行60千米，逆流航行132千米，共用15小时，扩大7倍，即顺流航行420千米，逆流航行924千米，共用105小时；
比较两个条件可得：逆流速度为：（924－240）÷（105－48）＝12（千米），顺流速度为：105÷（12－60÷12）＝105÷7＝15（千米），
解答：船往返一次需要用的时间为：120÷15＋120÷12＝8＋10＝18（小时）。
某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？
【解析】此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小时）
　　甲乙两地的路程是：16×15=240（千米）
　　此船顺水航行的速度是：18+2=20（千米/小时）
此船从乙地回到甲地需要的时间是：240÷20=12（小时）
解答：（1）240千米；（2）12小时。
小明和小丁租一条船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并掉过船头时，水壶与船已经相距8千米。假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
【解析】此题是水中追及问题，已知路程差是8千米，船在顺水中的速度是船速+水速，水壶漂流的速度只等于水速，所以速度差＝船顺水速度一水壶漂流速度＝船速。8÷4=2（小时）
解答：他们追上水壶需要2小时。
、
两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？
【解析】求时间的问题，先找相应的路程和速度。轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时）
解答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。
一艘船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这艘船在静水中的速度和水流的速度各是多少？
【解析】因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：（20+12）÷2=16（千米/小时）。因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：（20-12）÷2=4（千米/小时）。
解答：静水中的速度是16千米/小时；水流的速度是4千米/小时。
一条小河流过A、B、C三镇。A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为11千米/小时。B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为3千米/小时。已知A、C两镇水路相距51千米，水流速度为2千米/小时。某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船顺流而下到C镇共用8小时，那么A、B两镇的距离是多少千米？
【解析】要求A、B两镇的距离，我们需要求出汽船在A、B两镇航行的速度与时间。因为汽船的静水速度已知，实际就是要求出航行时间。
汽船的顺水速度是11＋2 = 13（千米/小时），木船的顺水速度是3＋2 = 5（千米/小时），扣除吃午饭用去的1小时，此人在船上行驶的实际时间是8—1 = 7（小时）。
假如这7小时都按每小时13千米的速度前进，应该行驶13×7= 91（千米），而实际只行了，行了91—51 = 40（千米）。之所以多出这40千米，是因为我们把乘木船航行速度每小时5千米按汽船速度每小时13千米计算了，每小时多算了（13－5）=8千米，40千米里有40÷8=5个8千米，说明乘木船航行了5小时。
那么，汽船的航行时间为：7－5=2小时。所以，A、B两镇的距离为：13×2=26千米。
解答：A、B两镇的距离是26千米。
中国古代数学著作—《数书九章》
秦九韶（约1202～1261），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称_????????°???????¤§???_，他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的〈〈数书九章〉〉。〈〈数书九章〉〉全书共18卷，81题，分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易），其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次_??????_组解法）与“正负开方术”（_é?????????¨?_数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界_??°??????_上占有突出的地位。