六年级上册数学讲义-小升初培优：第04讲 行程问题综合（解析版）全国通用

第四讲 行程问题综合


有一个周长40米的圆形水池，甲沿着水池边散步，每秒钟走1米；乙沿着水池边跑步，每秒钟跑3.5米。甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行。当乙第8次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？
【解析】乙第8次追上甲时，比甲多跑了40×8＝320米。两人的速度差是3.5－1＝2.5米/秒，因此从出发到乙第8次追上甲，一共经过了320÷2.5＝128秒。这段时间内乙一共跑了3.5×128＝448米。而由448÷40＝11……8可知，乙一共跑了11圈还多8米，那么还要跑40－8＝32米才能回到出发点。
解答：还需要跑32米才能回到出发点。
如图，一个正方形房屋的边长为10米。甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进。甲每秒行5米，乙每秒行3米。问：出发后经过多长时间甲第一次看见乙？
【解析】开始时甲落后乙10×2＝20米，那么此时两人走了10÷2＝5秒。于是甲走了5×5＝25米，位于CD中点处，而乙走了3×5＝15米，位于AD中点处。由于甲比乙快，那么当甲走到左侧边的起点时，乙仍在左侧边上，这时甲第一次看见乙。那么甲从下底边的中点处再花1秒钟走5米，就能第一次看见乙。由此可知，经过5＋1＝6秒钟，甲才能第一次看见乙。
解答：出发后经过6秒甲第一次看见乙。
如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重。甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？
【解析】当甲从A点跑到B点的时候，正好跑了大跑道的一半。而乙的速度比甲慢，所以他肯定还不到B点，假设他此时所在的点为C。
甲和乙第一次相遇在BC之间.考虑他们谁先回到A点。甲绕大跑道跑了一圈，需要秒。而乙绕小跑道跑了一圈需要300÷4＝75秒。也就是说，甲比乙先到A点。当甲到达A点时，乙还没有到A点。于是当乙跑回A点的时候，甲又跑离A点米。设甲跑到了D点。
那么甲再跑到B点时，乙也不可能到达B点，不妨设乙跑到了E点。因此第二次相遇在BE之间。
那么甲乙分别从D，A出发，第二次相遇，共跑了400－50＝350米，花了350÷（6＋4）＝35秒。于是甲从最开始算起，一共跑了400＋50＋35×6＝660米。
解答：甲一共跑了660米。
甲、乙两人从两地相向而行，经过6小时相遇于A点，如果两人回到原来的出发地，甲速度不变，乙每小时加快5千米，在距离A点12千米处相遇。如果两人再回到原地，乙速度不变，甲每小时加快5千米，在距离A点16千米处相遇。甲、乙两人原来的速度分别是多少？
【解析】这道题条件变化多，数量关系复杂，从字面上很难理顺数量间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。

从图中可以很清楚地看出：第二次与第一次比较，甲速度不变，乙每小时加快5千米，结果在距离A点12千米的B点处相遇；第三次与第一次比较，乙速度不变，甲每小时加快5千米，在距离A点16千米的C点处相遇。第三次与第二次比较，甲、乙两人的速度和没有变，所以从出发到相遇时所用的时间不会变。
在同样的时间里，甲第三次比第二次每小时多行5千米，一共多行了12+16=28千米，所以从出发到相遇所用的时间是28÷5=5.6小时。第一次与第二次相比，甲的速度没有变，甲第一次比第二次多行了12千米，多用了6-5.6=0.4小时，所以，甲原来的速度是12÷0.4=30千米/小时。同样，第三次与第一次比，乙的速度没有变，乙第一次比第三次多行了16千米，也多用了0.4小时，所以乙原来的速度是16÷0.4=40千米/小时。
解答：原来甲的速度是30千米/小时；乙的速度是40千米/小时。
如图，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏，正方形ABCD的边长为24米，甲、乙都从A点出发逆时针行进。甲出发时，乙要靠在A点的墙壁上数10秒后再出发。已知甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，请问：乙出发几秒后第一次看到甲？
【解析】乙出发时与甲的距离是4×10＝40米。若乙与甲的距离超过正方形的边长，则乙不可能看到甲。从乙出发到与甲的距离正好等于正方形的边长，需要（40－24）÷（6－4）＝8秒。此时乙走了6×8＝48米，恰好走到C处，甲在B点处，刚好能看到。
解答：乙出发8秒后第一次看到甲。
如图，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏，正方形ABCD的边长为24米，甲、乙都从A点出发逆时针行进。甲出发时，乙要靠在A点的墙壁上数10秒后再出发。已知甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，且每人每到达一个顶点都需要休息3分钟。请问：乙出发几秒后第一次看到甲？
【解析】甲走一条边需要24÷4＝6秒，然后在顶点处休息3秒，乙走一条边需要24÷6＝4秒，然后在顶点处休息3秒。甲比乙早出发10秒，但他每走一条边都要比乙多用2秒钟。因此甲比乙早2秒走完第4条边，在顶点处休息时被乙追上。乙第一次追上甲的时候是他刚在第4条边的时候，需要的时间是4×4＋3×3＝35秒。
如图，正方形的边长是100米，甲、乙两人同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，且每人每到达一个顶点都需要休息2分钟，求甲从出发到第一次看见乙所用的时间。
【解析】甲第一次看见乙，必定是甲走到某个顶点时，而乙还没有离开下一个顶点。设甲走过a条边时第一次看到乙，则甲刚跑完这条边需要100a÷75＋2（a－1）分钟。此时乙刚走了a－1条边，乙离开这条边需要100（a－1）÷65＋2（a－1）分钟。按照题意有100a÷75＋2（a－1）≤100（a－1）÷65＋2（a－1），解得a≥7.5。因此甲跑的第8条边时第一次看到乙，需要的时间是100×8÷75＋2（8－1）＝24分钟。
解答：甲从出发到第一次看见乙所用的时间为24分钟。
甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼。他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行。当乙走了100米时，他们第一次相遇。相遇后两人继续前进，在甲走完一周前60米处第二次相遇。求这条圆形跑道的周长。
【解析】如图，从出发到第一次相遇，甲和乙一共走了AB这一段，正好是周长的一半；从第一次相遇到第二次相遇，甲和乙一共走了整个周长.后一阶段的总路程是前一阶段的2倍，所花时间也应该是前一阶段的2倍，那么甲、乙两人分别走的路程也应该是前一阶段的2倍。也就是说，CD是BC的2倍.所以CD＝100×2＝200米。那么乙一共走了100＋100×2＝300米。这段路程比场地的半周长多60米，那么场地的周长就是（300－60）×2＝480米。
甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步。甲以每分钟300米的速度从起点跑出，1分钟后，乙从起点同向跑出，又过5分钟，甲追上乙。请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？
【解析】甲跑出1分钟后跑了300米，离起点还有100米，此时乙跑出，所以乙在甲前面100米。甲追乙的追及距离就是100米，因为用了5分钟追上，所以甲和乙的速度差是100÷5＝20米/分，乙每分钟可以跑300－20＝280米。甲第二次追上乙的时候，其实就是甲比乙又多跑了一圈，也就是说第二次的追及距离是400米。因此第二次的追及时间就是400÷20＝20分钟。
解答：乙每分钟跑280米；甲还需要再过20分钟才能第二次追上乙。
四边形ABCD是一个边长为100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲沿逆时针方向每分钟行75米，乙沿顺时针方向每分钟行45米。请问：两人第一次在CD边（不包括C、D两点）相遇，是出发以后的第几次相遇？
【解析】甲、乙的速度和为75＋45＝120米/分，总路程为100×4＝400米，则他们第一次相遇的时间为400÷120分钟。此时甲走了75×（400÷120）＝250米，即走到了BC的中点。从第一次到第二次相遇，和从出发到第一次相遇的情况相遇的情况相同。所以甲所走的路程应该还是250米。因此第二次相遇的地点就是D点。同样计算下去，第三次相遇的地点在AB中点，第四次相遇的地点在C点，第五次相遇的地点在AD中点，第六次相遇的地点在B点，第七次相遇的地点在CD中点。
解答：两人第一次在CD边上相遇，是出发以后的第七次相遇。
欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学分支学科中经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。