六年级上册数学讲义-小升初培优：第06讲 加乘原理 （解析版）全国通用

第六讲 加乘原理


乐羊羊到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，甜点一种，喜羊羊主食和副食各买一种，甜点可买可不买，共有多少种不同的买法？
【解析】喜羊羊买饭要分三步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食），然后甜点。其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法，买甜点有2种不同的方法（买或者不买）。故可以由乘法原理解决。
解答：共有3×5×2＝30种不同的方法。
学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说书100本。那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
【解析】在这个问题中，小明选一本书有三类方法。即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说。
所以，是应用加法原理的问题。
解答：小明借一本书共有：150＋200＋100＝450种不同的选法。
由数字0、1、2、3组成三位数，问：
　　（1）可组成多少个不相等的三位数？
（2）可组成多少个没有重复数字的三位数？
【解析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。
（1）要求组成不相等的三位数。所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4＝48个不相等的三位数。
　　（2）要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。
解答：（1）组成3×4×4＝48个不同的三位数；
　　 （2）共可组成3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。
如图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过。问：这只甲虫有多少种不同走法？

【解析】从图中我们看出，从A点到B点有两类走法，一类从A经过C到B，另一类从A经过D到B。所以可以分成两类考虑。但同时从每一类中去考虑，要到达B点必定经过C点或D点。所以，每一类又各自要分成两步去考虑，从A到C是1条路，从C到B是3条路，所以是1×3＝3（种）方法。从A到D是两条路，从D到B是三条路，所以是2×3＝6（种）方法。两类加起来是3＋6＝9（种）。从此题可以看出，一般较复杂的问题，加法原理与乘法原理是同时运用的。
解答： 1×3＋2×3＝9（种）。
答：这只甲虫有9种不同的走法。
有1角、5角、1元的硬币各一枚，可以组成多少种币值的人民币？
【解析】一种币值的有：1角、5角、1元，共3种；两种币值的有：6角、 1元1角、1元5角，共3种； 三种币值的有：1元6角，共1种。
解答：3＋3＋1＝7种。
如下图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）。在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形。问：一共可以画出多少个不同的三角形？

【解析】分三步完成：从上往下，第一条线有1种取法；第二条线有4种取法；第三条线有3种取法。
解答：一共可画出1×4×3＝12（个）不同的三角形。
袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有多少种可能？
【解析】按最少的红球来分类：3红时，黄＋白3，黄可取0，1，2，3共4种。2红时，黄＋白4，黄可取0，1，2，3，4共5种。1红时，黄＋白5，黄可取0，1，2，3，4共5种。0红时，黄＋白6，黄可取0，1，2，3共4种。
解答：共有4＋5＋5＋4＝18（种）。
下图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同的走法？

【解析】甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C到B。而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论。
解答：这只甲虫从A到B共有3×3＝9种不同的走法。
用天平称物体时要用砝码，现在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体？（砝码放在一个托盘中）
【解析】根据砝码的个数不同，可以这样分类：
第一类：用一个砝码。可称1克、2克、4克、8克的物体，共4种；
第二类：用两个砝码。可称（1＋2、1＋4、1＋8、2＋4、2＋8、4＋8）克物体，共6种；
第三类：用三个砝码。可称（1＋2＋4、1＋2＋8、1＋4＋8、2＋4＋8）克物体，共4种；
第四类：用四个砝码。有1种．
解答：4＋6＋4＋1＝15（种）
答：最多能称15种不同重量的物体。
有一些三位数，三位数字之和是21，这样的三位数有多少个？
【解析】21＝9＋9＋3＝9＋8＋4＝9＋7＋5＝9＋6＋6＝8＋8＋5＝8＋7＋6＝7＋7＋7；
三个数字不同的三位数 6×3＝18个；
两个数字相同的三位数 3×3＝9个；
三个数字相同的三位数 1个；
解答：共有 18＋9＋1＝28个。
陈景润的故事
陈景润一个家喻户晓的数学家，在攻克歌德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”。但有谁会想到，他的成就源于一个故事。?
1937年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡。几所大学得知消息，都想邀请沈教授来讲学，他谢绝了邀请。由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课。?
一天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28= 5+23，100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和。因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想。大数学家欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的。它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉。……”陈景润瞪着眼睛，听得入神。从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读，因此获得了“书呆子”的雅号。?
兴趣是第一老师，正是这样的数学故事，激发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而成就了一位伟大的数学家。