六年级上册数学讲义-小升初培优：第06讲 简单鸡兔同笼 （解析版）全国通用

第六讲 简单鸡兔同笼


鸡兔同笼，共有45个头，146只脚，问笼中鸡、兔各有几只？
【解析】45个头表示鸡和兔共有45只。假设这45只都是兔子，则会有45×4＝180(只)脚。那就比实际情况多出了180－146＝34（只）脚，这多出的脚是把每只鸡加上了4－2＝2（只）脚看成了兔子导致的，其实就是把34÷2＝17（只）鸡都看成了兔子。
同样的，我们也可以把这45只鸡兔，全假设成鸡，那么就有45×2＝90（只）脚。这样比实际就少了146－90 ＝56（只）脚，少了的脚实际就是让每只兔子少2条腿假设成鸡，那么就有56÷2＝28(只)兔子被假设成了鸡。
方法一：假设全是兔；鸡的头数：(45×4－146)÷(4－2)＝17（只）；兔的头数：45－17＝28（只）。
方法二：假设全是鸡；兔的头数：(146－45×2)÷(4－2)＝28（只）；鸡的只数：45－28＝17（只）。
解答：笼中有兔28只，鸡17只。
鸡兔同笼，共有100只，鸡脚比兔脚少70只，那么笼中鸡、兔各有几只？
【解析】假设这100只全是鸡，那么脚的总数应该是100×2＝200(只)，这时兔的脚是0，那么鸡脚就比兔脚多200只脚。而实际上鸡脚比兔脚少了70只脚，这样假设的情况中鸡脚与兔脚的差比实际多了200＋70＝270（只）脚。把每一只兔换成鸡，鸡的脚数就增加2只，兔的脚数就减少4只，鸡脚与兔脚的差就增加4＋2＝6（只），所以换成鸡的兔子应有270÷6＝45（只）。
与前一个问题类似，这里也可以假设这100只全是兔子，那么脚的总数就是100×4＝400（只），由于鸡的脚是0，那么兔就比鸡多了400只脚。而实际是兔的脚比鸡的脚多了70只，那么假设情况中兔脚与鸡脚的差比实际多了400－70＝330（只），与前面分析的类似，换成兔子的鸡有330÷6＝55（只）。
除了上面这种解决问题的方法外，其实我们还可以借助鸡脚与兔子脚之间的2倍关系来考虑解决问题。由于鸡脚比兔脚少了70只，也就是说如果补上70÷2＝35（只）鸡，那么鸡脚和兔脚的只数就一样多了。此时鸡的只数刚好是兔的只数的2倍，那么兔有(100＋35)÷(2＋1)＝45（只）。
方法一 : （100×2＋70）÷(4＋2)＝45（只）；100－45＝55(只)
方法二: (100×4－70)÷(4＋2)＝55（只）；100－55＝45(只)
方法三: (100＋70÷2)÷（4÷2＋1）＝45（只）；100－45＝55(只)
解答：笼中有兔45只，鸡55只。
一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？
【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2×36＝72（只）脚，可知现在剩下792－72＝720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720÷6＝120（只），鸡有120＋36＝156（只）。
解答：鸡有156只，兔有120只。
鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？
【解析】（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56÷2＝28（只）鸡。这样一来，鸡、兔共有107＋28＝135（只），这时鸡脚、兔脚一样多。已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：兔有：135÷（2＋1）＝45（只），鸡有：135－45－28＝62（只）或者107－45＝62（只）。
（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107×4＝428（只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：428－56＝372（只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4＋2＝6（只）。鸡的只数：372÷6＝62（只）兔的只数：107－62＝45（只）。
解答：鸡有62只，兔有45只。
有一群鸡和兔，脚的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？
【解析】我们不妨先假设每只兔子都少2只脚，那么此时兔和鸡脚的总数刚好是头的总数的2倍。所以多出的18只脚刚好是每只兔子少算2只脚的总数，那么兔子的只数就是18÷2＝9（只）。
解答：兔有9只。
动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？
【解析】方法一：鸵鸟比梅花鹿多了20只，那如果把这20只鸵鸟去掉的话就有共剩下208－20×2= 168(只)脚，此时鸵鸟与梅花鹿的只数相同，那么脚的数量必定是2倍关系。所以鸵鸟共有168÷(2＋1)=56（只）脚，鸵鸟共有56÷2＝28（只）。
方法二：在剩下的这168只脚中，梅花鹿和鸵鸟是一样多的，所以我们可以把一只梅花鹿和一只鸵鸟看成1组，这样每组就有4＋2＝6（只）脚。同样可以算出鸵鸟有168÷6＝28(只)。
方法一：(208＋20×2)÷(4÷2＋1)＝56（只）；56÷2＝28（只）；28＋20＝48(只)
方法二：(208－20×2)÷(4＋2)＝28（只）；28＋20 ＝48(只)
解答：梅花鹿有28只，鸵鸟有48只。
小巧参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多。问小巧做对几道题？
【解析】虽然这里有3种得分记录方法，但同样可以先假设20题全部做对，得20×5＝100(分)。那么不做题的少5分，做错题的少5＋2＝7（分），共少了100－64＝36（分）。因为36÷7＝5（题）……l（分），所以做错的题一定少于5题。又因为不做的题少5分，所以扣除做错题的分数后，剩余的分数个位必定是0或5，经尝试36－3×7＝15（分），所以必定做错3题，没做15÷5＝3（题），那么做对了20－3－3＝14（题）。
解答：小巧做对14题。
鸡兔同笼，共有274只脚。已知鸡比兔多23只，则鸡有多少只？
【解析】鸡比兔多23只，先去掉23只鸡，即相当于去掉46只脚，这时候鸡和兔子的只数相等。又每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，一只鸡和一只兔合起来共6只脚，所以，兔子有：（274-46）÷6=38（只），鸡有：38＋23＝61(只)。
解答：鸡有61只。
鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？
【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120－60＝60 (只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6 (只)，而60÷6＝10（只），因此有兔子10只，鸡60－10＝50 (只)。
解答：鸡有50只；兔有10只。
一次数学测验共10题，小明都做完了，但只得到29分。因为按规定做对一题得5分，做错一题扣掉2分。你知道小明做错了几道题吗？
【解析】 列表尝试，见下表：
错 1 2 3 4
对 9 8 7 6
得分 5×9-2×1=43分 5×8-2×2=36分 5×7-2×3=29分 5×6-2×4=22分
解答：小明做错了3道题。
华罗庚的故事-身残志坚
　　着名数学家华罗庚，在青年时代因病导致伤残，历尽坎坷，几乎陷入绝境。
　　华罗庚十九岁那年母亲因病逝世，他自己也染上极其可怕的伤寒病。这场大病，几乎毁了他的一生。这场大病，从旧历腊月廿四日开始，足足病了半年。请来的老中医对他父亲说：“不用下药了，他想吃什么就给他吃点什么吧。”但即使是在病重的时候，他也还是神智清醒的。家人在楼下替他占卦算命，他都知道。“奇迹”出现，他并没如医生断定那样夭亡，到了第二年端午节那天，他终于能够起床了。这“奇迹”或许正是由于他那顽强的求生意志，才能战胜死神吧。但可惜“奇迹”的出现也未能使他恢复如初，而是造成了一个“终身缺憾”。他左腿胯关节骨膜粘连，变成僵硬的直角。从此，他是必须扶着拐杖走路了。华罗庚因病左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。对于这种奇特而费力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运动”。在逆境中，他顽强地与命运抗争，誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！”凭着这种精神，他终于从一个只有初中毕业文凭的青年成长为一代数学大师。华罗庚一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自导函数论等方面的研究者和创始人，其着作《堆垒素数论》更成为20世纪数学论着的经典。