六年级上册数学讲义-小升初培优：第08讲 排列组合 （解析版）全国通用

第八讲 排列组合


6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
【解析】 解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 元素分析法
因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，5！＝5×4×3×2×1＝120 种站法。
解答：有4×5！＝480种不同站法。
5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 3个女生互不相邻有多少种排法？
【解析】（1）把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有6！＝6×5×4×3×2×1＝720种，然后女生内部再进行排列，有3！＝3×2×1＝ 6种，所以排法共有720×6＝4320种。
（2）3个女生互不相邻，将男生先排好，女生用插空法。男生的排列方法有5！＝5×4×3×2×1＝120种方法，男生排好之后有6个空位，将女生插空进去，共有6×5×4＝120种方法。所以一共有120×120＝14400种方法。
解答：（1）3个女生必须排在一起，有4320种不同排法；
（2）3个女生互不相邻有14400种排法。
张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；
（2）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上。
【解析】（1）首先选出一人站在中间，有两种方法，剩余的6个人有6！种站法（2）能站在两边的有5人，有（5×4）种站法，剩下的5人站在除两头的五个位置上有5！种站法。
解答：（1）1440种；（2）2400种。
至慧兔、乐羊羊等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1）七个人排成两排，前排三人，后排四人；
（2）七个人排成两排，前排三人，后排四人，至慧兔、乐羊羊不在同一排。
【解析】（1）7个位子没有要求；（2）从至慧兔、乐羊羊中选一人站在前排有2种方法，前排有三个位置可站，后排有四个位置可站，故这两人有（2×3×4）种站法，再确定其余五人站的位置，共有5！种站法。
解答：（1）5040种；（2）2880种。
甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。
问：（1）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
（2）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？
【解析】（1）某人拿对了，另外三人拿错了的拿法有2种，故共有4×2=8（种）拿法；（3）四人共有24种拿法，其中全拿对的只有1种。
解答：（1）8种；（2）23种。
有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？

【解析】6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：＝＝9×8×7×6÷（1×2×3×4）＝126种。
解答：共有126种不同的分配方案。
从15名同学中选5名参加数学竞赛，分别满足下列条件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两人中至少有一人入选；
（2）甲、乙、丙三人不能同时都入选。
【解析】（1）甲、乙两个至少有一人入选，分两种情况，甲乙都入选，甲乙中一个入选。286＋2×＝286＋2×13×12×11×10÷（1×2×3×4）＝286＋1430＝1716种。（2）可以用排除法，全部的情况减去甲乙丙全都入选的情况，－。
解答：（1）1716种；（2）2937种。
恰有两位数字相同的三位数共有多少个？
【解析】在900个三位数中，三位数各不相同的有9×9×8＝648（个），三位数全相同的有9个，恰有两位数相同的有900—648—9=243（个）。
解答：243个。
10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？
【解析】两个相邻的人有10种选法，另一人有6种选法。
解答：60种。
学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合照，请问：需要拍多少张照片？
【解析】只需要从10个选手中选出3个人即可，。
解答：需要拍120张照片。
苏步青的故事
苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读的浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用，这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。
杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，他写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖国任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦，面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我心甘情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路！”