六年级上册数学讲义-小升初培优：第08讲 最短路线（解析版）全国通用

第八讲 最短路线


假如直线L是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图，现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？

【解析】如果只考虑甲村的人距离公路l最近，只要由甲村向公路l画一条垂直线，交l于C点，那么C点是甲村到公路l最近的点，但是乙村到C点就较远了。反过来，由乙村向公路l画垂线，交l于D点，那么D点是乙村到公路l最近的点。但是这时甲村到公路l的D点又远了。

因为本题要求我们在公路l上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路l交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了。
解答：用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路l有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：
①为折线段ABCDEFG，
②为折线段AIG，
③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则( )

A. a＞b＞c
B．a=b＞c
C．a＞c＞b
D．a=b＜c
【解析】观察图形，可知：①②相等，③最短，a、b、c的大小关系是：a=b＞c。故选B。
下图中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？

【解析】为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母。如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长?从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+DB。因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB。这样我们走的这条路线才是最短路线。为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走。因此只能向右和向下走。
有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：
　　A→C→D→G→B A→C→F→G→B
　　A→C→F→I→B A→E→F→G→B
　　A→E→F→I→B A→E→H→I→B
　　通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。
　　现在观察这种题是否有规律可循。
　　1、看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线。因此，从A到C只有一条路线。同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。
　　2、看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图中的F点标上数字“2”，2=1+1。第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。
3、看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G，我们在G点标上数字“3”。3=2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。
4、看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点。在I点标上“3”，3=2+1。“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法。
5、看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：共有六种走法。6=3+3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法.在B点标上“6”。
我们观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数。这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。
解答：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字。我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线。

图中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？

【解析】为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母。
我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和。
标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。
解答：从小明家到学校有13条不同的路线。如图所示：

一个邮递员投送信件的街道如图所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
【解析】选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。为使8个奇点变成偶点，我们可以用如图的4种方法走重复的路线。

图中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：
（1）3×4=12（千米）
（2）3×2+2×2=10（千米）
（3）2×4=8（千米）
（4）3×2+4×2=14（千米）
当然，重复走的路程最短，总路程就最短。
邮递员应按图（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：（1+2+4+2+1）×2+3×6+2×4=20+18+8=46（千米）。
解答：邮递员应按图（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为46千米。
解决此题关键是按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点，且要考虑重复走的路程最短，总路程就最短。
下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？

【解析】我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从A到O有两条路，A→C→O用6分钟，A→F→O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF，简化为左下图。
从A到E还剩两条路，A→C→G→E用12分钟，A→C→O→E用10分钟，排除前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。
从A到D还剩两条路，A→C→O→D用12分钟，A→H→D用13分钟，排除后者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。

从A到B还剩两条路，A→C→O→E→B用17分钟，A→C→O→D→B用16分钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。
解答：小明按A→C→O→D→B走最快，用16分钟。
下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学，为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。

　
【解析】我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A和 C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要走 AC这段路；若设在C村，则只有40人走AC这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。
从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。
同理，经比较得到C比B好，D比E好。最后比较C和D。若设在 C村，则在 D村一侧将集结 35＋ 50= 85（人）；若设在 D村，则在C村一侧将集结 40＋20＋20=80（人）。因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。
　　解答：最合理的方案是设在D村。
如图，已知牧马营地在P处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。

【解析】分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，根据两点之间线段最短得到所走路程最短。
解答：如图所示：沿PA→AB→BP的线路最短。


小明家到学校的路线如下图所示。
（1）小明家到学校有几种不同路可走？
（2）小明每天上学沿最近的路走两个来回，一共要走多少米？
【解析】（1）观察线路图，即可得出小明家到学校有4条不同的路可走；（2）先得出最近的路的长度，再乘4即可得解。
（1）小明家到学校有4条不同的路可走：即：小明家---商场---影院---学校；小明家---商场---学校；小明家---医院---学校；小明家---医院---市场---学校；
（2）观察可知：小明家---商场---学校的线路最短，（50+180）×4=230×4=920（米）；
解答：小明家到学校有4种不同路可走，小明每天上学沿最近的路走两个来回，一共要走920米。
如图是一个电子小虫的玩具盒，玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米。电子小虫的爬行速度是每秒3厘米，如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有多少种？

【解析】电子小虫的爬行速度是每秒3厘米，30秒到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点，据此利用“标数法”标数即可得出答案。
解答：电子小虫按时到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点。
走法如下：

由图可以看出一共有12种走法。故答案为：12。
卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23），生于布伦瑞克，卒于哥廷根，德国数学家、物理学家和天文学家、大地测量学家。近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。