第三章 二次函数综合测试题（含答案）
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第三章 综合测试题
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（每题5分，共5分）
1抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜－2
2.如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）。下列结论：①2a－b＝0；②（a＋c）2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x－2）2－2，其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
3.函数y＝k（x－k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
4、二次函数y＝x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（1，1）
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（ ）
A. ac＋1＝b B. ab＋1＝c C. bc＋1＝a D.以上都不是
二、填空题（每题5分，共20分）
6.若抛物线y＝x2＋（a－1）x＋a＋2的顶点在坐标轴上，则a的值为__________。
7.已知抛物线y＝ax2－3x＋c（a≠0）经过点（－2，4），贝4a＋c－1＝___________。
8.函数y＝x2＋4ax＋2在x≤6时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是___________。
9.若方程(x－m)(x－n)＝3（m，n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是_________________。
三、解答题（共55分）
10.（10分）如图所示，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点。
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式。
11.（15分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
12.（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
（1）求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值.
13.（15分）如图所示，已知二次函数y＝（1－m）x2＋4x－3的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若点A的坐标为（1，0），求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P，O，B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1. A 2. D 3. C 4. D 5. A
二、填空题
6. 1或－1或7 7. －3 8. a≤－3 9. a＜m＜n＜b
三、解答题
10.解:（1）∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，
∴△＝4a2－4a＝0.解得a1＝0（舍去），a2＝1。
∴抛物线解析式为y＝x2＋2x＋1；
（2）∵y＝（x＋1）2，∴顶点A的坐标为（－1，0）。
∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于点C对称，∴点B的横坐标为1.
当x＝1时，y＝x2＋2x＋1＝1＋2＋1＝4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把A（－1，0），B（ 1，4）代入得，解得。
∴直线AB的解析式为y＝2x＋2.
11.解，（1）y＝x2－2x－3；
（2）开日向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1.－4）.
12，解，（1）将点A.B代入抛物线y＝－x2＋ax＋b可得，
，解得，抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；
（2）∵点C在y轴上，∴点C横坐标x＝0.
∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标.
∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，∴。
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为。∴点C的坐标为（0，）.
∴BC＝。∴sin ∠OCB＝.
13，解:（1）点C的坐标为（0，－3）；
（2）把点A（1，0）代入y＝（1－m）x2＋4x－3得，1－m＋4－3＝0，∴m＝2.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3；
（3）当y＝0时，－x2＋4x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴点B的坐标为（3，0）.
∴OB＝3. ∴OA＝1，0B＝ОC＝3.
①当△AOC∽△POB时，，即.
∴OP＝1，即此时点P的坐标为（0，1）或（0，－1）；
＠当△AOC∽△BOP时，，即，OP＝9.
∴此时点P的坐标为（0，9）或（0，－9）.
∴在y轴上存在点P，点P的坐标为（0，±1）或（0，±9）。
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第三章 综合测试题
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（每题5分，共5分）
1抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜－2
2.如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）。下列结论：①2a－b＝0；②（a＋c）2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x－2）2－2，其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
3.函数y＝k（x－k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
4、二次函数y＝x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（1，1）
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（ ）
A. ac＋1＝b B. ab＋1＝c C. bc＋1＝a D.以上都不是
二、填空题（每题5分，共20分）
6.若抛物线y＝x2＋（a－1）x＋a＋2的顶点在坐标轴上，则a的值为__________。
7.已知抛物线y＝ax2－3x＋c（a≠0）经过点（－2，4），贝4a＋c－1＝___________。
8.函数y＝x2＋4ax＋2在x≤6时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是___________。
9.若方程(x－m)(x－n)＝3（m，n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是_________________。
三、解答题（共55分）
10.（10分）如图所示，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点。
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式。
11.（15分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
12.（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
（1）求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值.
13.（15分）如图所示，已知二次函数y＝（1－m）x2＋4x－3的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若点A的坐标为（1，0），求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P，O，B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1. A 2. D 3. C 4. D 5. A
二、填空题
6. 1或－1或7 7. －3 8. a≤－3 9. a＜m＜n＜b
三、解答题
10.解:（1）∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，
∴△＝4a2－4a＝0.解得a1＝0（舍去），a2＝1。
∴抛物线解析式为y＝x2＋2x＋1；
（2）∵y＝（x＋1）2，∴顶点A的坐标为（－1，0）。
∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于点C对称，∴点B的横坐标为1.
当x＝1时，y＝x2＋2x＋1＝1＋2＋1＝4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把A（－1，0），B（ 1，4）代入得，解得。
∴直线AB的解析式为y＝2x＋2.
11.解，（1）y＝x2－2x－3；
（2）开日向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1.－4）.
12，解，（1）将点A.B代入抛物线y＝－x2＋ax＋b可得，
，解得，抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；
（2）∵点C在y轴上，∴点C横坐标x＝0.
∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标.
∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，∴。
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为。∴点C的坐标为（0，）.
∴BC＝。∴sin ∠OCB＝.
13，解:（1）点C的坐标为（0，－3）；
（2）把点A（1，0）代入y＝（1－m）x2＋4x－3得，1－m＋4－3＝0，∴m＝2.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3；
（3）当y＝0时，－x2＋4x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴点B的坐标为（3，0）.
∴OB＝3. ∴OA＝1，0B＝ОC＝3.
①当△AOC∽△POB时，，即.
∴OP＝1，即此时点P的坐标为（0，1）或（0，－1）；
＠当△AOC∽△BOP时，，即，OP＝9.
∴此时点P的坐标为（0，9）或（0，－9）.
∴在y轴上存在点P，点P的坐标为（0，±1）或（0，±9）。
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