六年级上册数学讲义小升初培优第09讲 图形计数 （解析版）全国通用

第九讲 图形计数


数一数共有多少个三角形？

【解析】用排列组合的思想解决问题，我们在数三角形的时候，只要确定最底下的一条边即可，譬如，确定了线段BD，就能确定三角形ABD。而BC上一共有＝5×4÷（1×2）＝10条线段，就有10个三角形。
解答：共有3×＝30个三角形。
在一块画有4×4方格网木板上钉了25颗铁钉(如图)，如果用线绳围正方形，最多可以围出多少个？
【解析】此类问题一般用分类方法计数。对正方形的边长分八类计数如下:边长为AB的正方形有16个；边长为AC的正方形有9个；边长为AD的正方形有4个；边长为AE的正方形有1个；边长为DF的正方形有9个；边长为CF的正方形有8个；边长为BF的正方形有2个；边长为CG的正方形有1个。
解答：最多可围出50个正方形。
下图的图形中一共有多少个三角形?

【解析】①单个三角形有6个；②两个图形组成的有4个；③三个图形组成的有1个；④四个图形组成的有2个；⑤八个图形组成的有1个。
解答：一共有 6＋4＋1＋2＋1＝14个。
数一数图中一共有多少个三角形？

【解析】分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的。第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的。第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的。最后把每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数。
解答：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一个三角形构成的有8个；②由两个三角形构成的三角形有5个；③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个这样在一个小矩形内有17个三角形。
　　Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形。
　　Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形。
　　所以整个图形共有三角形个数是：（8＋5＋5＋5＋2）×＝25×4＝100（个）。
由35个单位正方形组成的长方形中，如图所示有两个“A”，问包含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有多少？
【解析】方法一：含两个A的长方形，与二，三两行有公共部分。它们可能与第一行有公共部分，也可能与第一行没有有公共部分，故可以分为两类；每一类的长方形，可能和第四，五两行有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第四行有公共部分，而与第五行没有公共部分，即又分为三类。故从行考虑共有（2×3）种方法；同理，从列来考虑有（3×4）种方法；于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有（2×3）×（3×4）＝72个。
方法二：要确定一个符合条件的长方形，需要有上下左右四条边。选择上边所在的直线，有2种方法；选择下边所在的直线，有3种方法；选择左边所在的直线，有3种方法；选择右边所在的直线，有4种方法。于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有2×3×3×4＝72个。
解答：72个。
8条直线最多能把平面分成多少部分？
【解析】1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图，所以4条直线最多将平面分成7＋4＝11个部分。完全类似地，5条直线最多将平面分成11＋5＝16个部分；6条直线最多将平面分16＋6＝22个部分；7条直线最多将平面分成22＋7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29＋8＝37个部分。
一般地，n条直线最多将平面分成个部分。
解答：8条直线最多能把平面分成37部分。
10个三角形最多能将平面分成几个部分？
【解析】设n个三角形最多将平面分成an个部分。画图枚举说明。n＝1时，a1＝2；n＝2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2×3＝6（个）交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2＝2＋2×3。n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：a3＝2＋2×3＋4×3。一般地，第n个三角形与前面（n－1）个三角形最多有2（n－1）×3个交点，从而平面也增加2（n－1）×3个部分，故an＝2＋2×3＋4×3＋…＋2（n－1）×3＝2＋［2＋4＋…＋2（n－1）］×3＝2＋3n（n－1）＝3n2-3n＋2。
特别地，当n＝10时，a10＝3×102＋3×10＋2＝272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。
解答：272个部分。
下面三个图中分别有多少个三角形？

图一 图二
【解析】图二再图一的基础上去做加减。图二是图一的个数减去与少去的那条线段相关的三角形的个数。
解答：图一35个；图二29个。
如下左图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有多少个？
【解析】以正方形的面积大小分类计数。设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。
解答：共有9＋4＋2＋4＋2＝21个正方形。
在一个8×8的方格棋盘中，有多少个由4个小方格组成的“凸”字形图形？
【解析】在每个2×3的长方形中可以找到2个“凸”字形图形。而在6×6方格棋盘中2×3的长方形有（4×5）×2＝40（个）。所以可以找到40×2＝80个“凸”字形图形。
解答：有80个由4个小方格组成的“凸”字形图形。
熊庆来的故事
熊庆来的父亲熊国栋，精通儒学，但更喜欢新学，思想很开明，对熊庆来的影响很大。少年时的熊庆来从他父亲那里常听到有关孙中山民主革命的事情，这在幼年熊庆来的心田播下了爱国的种子。
1907年，熊庆来考入昆明的云南方言学堂，不久又升入云南高等学堂。当时满清王朝已日薄西山，各地的反清斗争风起云涌，抗捐、抗税、罢课、罢市、兵变遍及全国，清政府陷入于风雨飘摇之中。熊庆来由于参加了“收回矿山开采权”的抗法反清示威游行，而遭到学校的记过处分。现实的生活与斗争使名熊庆来认识到：要使国家富强，必须掌握科学，科学能强国富民。
1913年，熊庆来赴欧留学。1914年，第一次世界大战爆发，他从比利时经荷兰、英国，辗转到了法国巴黎。8年间先后获得高等数学、力学及天文学等多科证书，并获得理学硕士学位。1921年，28岁的熊庆来学成归国，一心想学以致用，救民于水火。1949年6月，国民党反动政府趁熊庆来去巴黎参加国际会议的机会，解散了熊庆来苦心经营12年的云南大学。年近花甲的熊庆来怀着“壮志难酬、报国无门”的心情，决定滞留在法国继续从事函数论的研究。
“……祖国欢迎你，人民欢迎你！欢迎你回来参加社会主义建设的伟大事业……”1957年4月，周总理给熊庆来写信，动员他回国。同年6月，熊庆来在完成了函数论专著稿后，毅然启程，回到了祖国的怀抱。他表示，愿在社会主义的光芒中鞠躬尽瘁于祖国的学术建设事业。在回国后的7年中，他在国内外学术杂志上发表了近20篇具有世界水平的数学论文，还培养了杨乐、张广厚等一批数学人才，为祖国赢得了荣誉，表现了这位七旬老人热爱祖国的赤子之心。