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突破4.1
指数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二
分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三
指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型分析
(一)
根式化简
例1、（2019秋?中原区校级期中）当时，
B．
C．
D．
【分析】根据题意得﹣ax3≥0，结合a＞0得x3≤0即x≤0，由此利用二次根式的性质加以计算，可得答案．
【答案】解：中，，由得，即
因此，故选：．
【变式训练1-1】．（2019秋?天心区校级期末）的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【解答】解：3﹣1＝2，故选：B．
【变式训练1-2】．（2019秋?九龙坡区校级期中）把根号外的移到根号内等于
A．
B．
C．
D．
【分析】由根式内部的代数式大于等于求得，即，则答案可求．
【答案】解：由，得，则，
．
故选：．
【点睛】本题考查有理指数幂与根式的互化，考查函数定义域的求法，是基础题．
【变式训练1-3】．（2020?广东学业考试）已知a＞0，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，故选：B．
【变式训练1-4】．()4运算的结果是（
）
A．2
B．－2
C．±2
D．不确定
【答案】A
【解析】由指数运算法则，容易得：()4=2.故选：A.
(二)
根式与分数指数幂互化
例2、下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．
【答案】解：对于，由有意义可知，而当时，无意义，故错误；
对于，当时，，而无意义，故错误；
对于，，故错误．
对于，．故正确．故选：．
【变式训练2-1】．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于选项A,因为，而，即A错误；
对于选项B，因为，即B错误；对于选项C，
，即C正确；
对于选项D，
，即D正确，故选：CD．
【变式训练2-2】．（2019秋?桐庐县期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】利用根式与分数指数幂的关系得出，，，，从而选出答案．
【答案】解：．故错；
故错；故正确；
故错故选：．
【变式训练2-3】．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原式.故选：A
【变式训练2-4】．（多选题）（2019·广东禅城
佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；
，故C不正确；，D正确，故选AD.
(三)
多重根式化简
例3、（2019秋?景泰县校级期中）等于
A．
B．2
C．
D．2
【分析】把根号下的式子表示成平方式，然后进行开方，再计算即可得答案．
【答案】解：
．
故选：．
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题．
【变式训练3-1】．（2019秋?凌源市月考）已知，则化为
A．
B．
C．
D．
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【答案】解：原式．
故选：．
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式训练3-2】．（2020·全国高一课时练习）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
【答案】
【解析】∵，∴.故答案为：.
【变式训练3-3】．化简：－＝________.
【答案】
【解析】原式＝.故答案为：
(四)
根式与分数指数幂互化
例4、（2019秋?鸠江区校级期中）（1）化简：；
（2）求值：．
【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．
【答案】解：（1）：；
原式
；
（2）：．
原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
【变式训练4-1】．（2019秋?温江区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】分别根据指数幂的运算性质计算即可．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题
【变式训练4-2】．
【解析】原式==
【变式训练4-3】．（多选题）（2020·全国高一课时练习（理））下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】CE
【解析】
A错，，而；
B错，；
C正确，；
D错，；
E正确，.
故选：CE.
(五)
利用整体代换思想求值
例5、（2019秋?沙坪坝区校级期中）若，求的值．
【分析】根据指数幂的原式性质求出代数式的值即可．
【答案】解：若，
则，，
故．
【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是一道常规题．
【变式训练5-1】．（2019秋?越秀区校级月考）已知，且，求的值．
【分析】．根据，，可得．又，可得．
【答案】解：．①
，，②
．
又，．③
将②③代入①，得原式．
【点睛】本题考查了乘法公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式训练5-2】．（2020·浙江高一课时练习）已知，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，，，此时；
当时，，，此时.
，因此，.故选：C.
(六)
指数幂的综合应用
例6、（2019秋?临沂期中）已知，．
（1）求证：是奇函数，并求的单调区间；
（2）分别计算（4）（2）（2）和（9）（3）（3）的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明．
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义证明，利用单调性的定义确定函数的单调区间．
（2）分别求出（4）（2）（2）和（9）（3）（3）的值，然后根据规律得到结论．
【答案】解：（1）函数的定义域是，（1分）
，
是奇函数．（4分）
设，，（6分）
上是增函数，故，
，
即，在上是增函数．（8分）
又是奇函数，在上也是增函数．
函数的增区间是和．（10分）
（2），．（12分）
同理（9）（3）（3）．猜想：
（14分）
证明：．
等式成立．（16分）
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，综合性较强．
【变式训练6-1】．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.
（1）求常数的值.
（2）解关于的不等式.
【解析】（1）由，得，解得.
（2）由（1）得.
由得，当时，，
解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
四、迁移应用
1．下列运算中计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误；
根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误；
根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，
根据指数幂的运算，故正确.故选：D
2．对任意的正实数及，下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据指数的运算性质排除ABC.故选:D
3．_________，___.
【答案】
【解析】
(1)
(2)
.
4．（1）化简________.
（2）若，则化简________.
【答案】
当时，
；当时，.
【解析】（1）由有意义，可得，即，
所以.
（2）由，
因为，当时，原式；
当时，原式.
5．将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式＝
＝＝＝.
（2）原式＝＝＝＝＝＝.
（3）原式＝[]＝＝.
6．已知，求下列各式的值：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）3.
【解析】（1）将两边平方，得，即.
（2）将上式两边平方，可得，∴.
（3）∵，
而，∴原式.
7．计算下列各式：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）；（2）100；（3）.
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
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指数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二
分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三
指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型分析
(一)
根式化简
例1、（2019秋?中原区校级期中）当时，
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．（2019秋?天心区校级期末）的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【变式训练1-2】．（2019秋?九龙坡区校级期中）把根号外的移到根号内等于
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】．（2020?广东学业考试）已知a＞0，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4】．()4运算的结果是（
）
A．2
B．－2
C．±2
D．不确定
(二)
根式与分数指数幂互化
例2、下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（2019秋?桐庐县期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】．（多选题）（2019·广东禅城
佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
(三)
多重根式化简
例3、（2019秋?景泰县校级期中）等于
A．
B．2
C．
D．2
【变式训练3-1】．（2019秋?凌源市月考）已知，则化为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．（2020·全国高一课时练习）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
【变式训练3-3】．化简：－＝________.
(四)
根式与分数指数幂互化
例4、（2019秋?鸠江区校级期中）（1）化简：；
（2）求值：．
【变式训练4-1】．（2019秋?温江区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【变式训练4-2】．
【变式训练4-3】．（多选题）（2020·全国高一课时练习（理））下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
(五)
利用整体代换思想求值
例5、（2019秋?沙坪坝区校级期中）若，求的值．
【变式训练5-1】．（2019秋?越秀区校级月考）已知，且，求的值．
【变式训练5-2】．（2020·浙江高一课时练习）已知，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
(六)
指数幂的综合应用
例6、（2019秋?临沂期中）已知，．
（1）求证：是奇函数，并求的单调区间；
（2）分别计算（4）（2）（2）和（9）（3）（3）的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明．
【变式训练6-1】．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.
（1）求常数的值.
（2）解关于的不等式.
四、迁移应用
1．下列运算中计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．对任意的正实数及，下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．_________，___.
4．（1）化简________.
（2）若，则化简________.
5．将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
6．已知，求下列各式的值：
（1）.
（2）.
（3）.
7．计算下列各式：
（1）.
（2）.
（3）.
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