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突破4.2
指数函数课时训练
【基础巩固】
1.（2019秋?兴庆区校级期末）函数是指数函数，则
A．或
B．
C．
D．且
【分析】根据指数函数的定义求出的值即可．
【答案】解：若函数是指数函数，
则，解得：，故选：．
2．（2020·浙江高一单元测试）（多选题）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC
3.（2019秋?兴宁区校级期中）下列函数中指数函数的个数是
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据指数函数的定义证明即可．
【答案】解：只有①⑤是指数函数；
②底数不是常数，故不是指数函数；
③是2与指数函数的乘积；
④中底数不是常数，
它们都不符合指数函数的定义．
故选：．
4．（2020·浙江高一单元测试）（多选题）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
，则
，
，，又，
，．
故选：AC.
5.（2018秋?商丘期末）已知函数且在内的值域是，则函数
的图象大致是
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断底数，由于指数函数是单调函数，则有，再由指数函数的图象特点，即可得到答案．
【答案】解：函数且在内的值域是，
则由于指数函数是单调函数，则有，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在轴上面，可知正确．
故选：．
【点睛】本题考查指数函数的图象和单调性，考查函数图象的画法，属于基础题．
6．（2020·湖南宁乡一中高一开学考试）（多选题）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（
）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
【答案】AC
【解析】
由函数，有,
即，作出函数的图像如下，
根据函数图像有的值域为，
若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，
当即时也成立.
所以不等式成立时，.
故选：AC.
7.（2018秋?西城区校级期中）已知函数，则函数的图象大致是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，先求的表达式，可得，进而分析可得单调递减，且其图象与轴交点在之下，比较选项可得答案．
【答案】解：根据题意，可得，单调递减；
同时有，，即函数图象与轴交点在之下；
、选项的图象为增函数，不符合；选项的图象与轴交点在之上，不符合；
只有的图象符合两点，
故选：．
【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．
8.（2018春?重庆期末）函数的大致图象是
A．
B．
C．
D．
【分析】对函数进行转化为分段函数，当时，函数表达式为，而当时，函数表达式为，然后再用基本函数的图象进行研究．
【答案】解：函数
，且图象关于轴对称
函数图象在轴右侧为减函数，
左侧为增函数，
故选：．
【点睛】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换，一般地，通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，对称区间上的图象，则由奇偶性或对称性研究．
9.（2019秋?南康区校级月考）函数且的图象过一个定点，则这个定点坐标
是
A．
B．
C．
D．
【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求．
【答案】解：由，得，此时．
函数且的图象过定点，
故选：．
【点睛】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，注意掌握该类问题的求解方法，是基础题．
10.（2019秋?承德期中）已知函数恒过定点，则函数
不经过
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】求出，得出的解析式，从而得出结论．
【答案】解：恒过定点，
，
，
为减函数，且过点，
的函数图象不经过第三象限．
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数的图象变换与性质，属于中档题．
11.（2019春?越城区校级期中）已知，，，则，，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【分析】考察指数函数与在上单调性且与1相比较即可得出．
【答案】解：考察指数函数在上单调递减，．
考察指数函数在上单调递增，．
综上可得：．故选：．
【点睛】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．
12.（2019秋?洛阳期中）设，，，则，，的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【分析】化简，，，根据指数函数的性质判断其大小即可．
【答案】解：，
，
，
且在递增，
，
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查根据函数的单调性判断函数值的大小问题，是一道基础题．
13.已知的值域为，，求范围．
【分析】令，则，换元可得，由二次函数的性质可得的范围，进而可得的范围．
【答案】解：令，则，
换元可得，
令可解得，或（舍去），
令可解得，或（舍去），
在单调递减，
在，单调递增，且当时，当时，
故可得的范围为，，即，，
解得的范围为，
【点睛】本题考查指数函数和二次函数的值域，换元是解决问题的关键，属基础题．
14.（2018秋?马山县期中）已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【分析】（1），即，以为单位，解关于的方程，通过因式分解得，再讨论为的正数的性质，可得，故成立；
（2）以为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合，，找到函数取最大值和最小值对应的，从而找出函数的最大值和最小值．
【答案】解：（1）当，即时，
，
，，故（4分）
（2）
令
当，即时，函数的最小值（10分）
当，即时，函数的最大值（12分）
【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．
【能力提升】
15.（2019秋?忻府区校级期中）已知函数的定义域与函数
的定义域相同，求函数的最大值与最小值．
【分析】由根式函数的定义域可的定义域，从而的定义域是，，再设令，则，，利用二次函数在区间上的最值问题能求出函数的最大值和最小值．
【答案】解：由且得，定义域为，（2分）
令，则，，
，（8分）
时，取得最大值，时，取得最小值1，（12分）
【点睛】本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
16.求函数的单调区间．
【分析】令，则，运用指数函数和二次函数的单调性和复合函数的单调性：同增异减，即可得到函数的单调区间．
【答案】解：令，
则，且在上递减，
由于在，上递增，在，上递减，
则由复合函数的单调性，可得
函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，．
【点睛】本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和指数函数的单调性的运用，属于基础题和易错题．
17.（2019秋?高要市校级期中）已知定义域为的函数是奇函数
（1）求，的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（3）根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．
【答案】解：（1）是上的奇函数，
即
（1）
即
经验证符合题意．，
（2）
在上是减函数，证明如下：
任取，，且
，
即
在上是减函数．
（3），是奇函数．
又是减函数，
设
，
问题转化为
（2），
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和应用，利用定义法，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．
18.（2019秋?会宁县校级期中）已知奇函数，．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性并进行证明；
（3）若函数满足，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用即可求得的值．
（2）利用增函数的定义即可证明．
（3）利用奇函数的定义将可化为，再由（2）单调性可得，解出即可．
【答案】解：（1）函数是定义在上的奇函数，，，．
（2）证明：由（1）可知，．
任取，则
，得
所以，在上单调递增．
（3）为奇函数，．
由已知在上是奇函数，
可化为，
又由（2）知在上单调递增，
，解得．
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性和单调性，深刻理解其定义和性质是解决问题的关键．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax，g(x)＝(a>0，且a≠1)．
(1)讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
(2)如果f(x)
【解析】(1)当a>1时，f(x)＝ax是R上的增函数．
由于0<<1，所以g(x)＝是R上的减函数．
当0由于>1，所以g(x)＝是R上的增函数．
(2)f(x)当a>1时，x<0；当00.
∴当a>1时，x的取值范围是(－∞，0)；
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指数函数课时训练
【基础巩固】
1.（2019秋?兴庆区校级期末）函数是指数函数，则
A．或
B．
C．
D．且
2．（2020·浙江高一单元测试）（多选题）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（
）．
A．
B．
C．
D．
3.（2019秋?兴宁区校级期中）下列函数中指数函数的个数是
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2020·浙江高一单元测试）（多选题）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.（2018秋?商丘期末）已知函数且在内的值域是，则函数
的图象大致是
A．
B．
C．
D．
6．（2020·湖南宁乡一中高一开学考试）（多选题）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（
）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
7.（2018秋?西城区校级期中）已知函数，则函数的图象大致是
A．
B．
C．
D．
8.（2018春?重庆期末）函数的大致图象是
A．
B．
C．
D．
9.（2019秋?南康区校级月考）函数且的图象过一个定点，则这个定点坐标
是
A．
B．
C．
D．
10.（2019秋?承德期中）已知函数恒过定点，则函数
不经过
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11.（2019春?越城区校级期中）已知，，，则，，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
12.（2019秋?洛阳期中）设，，，则，，的大小关系为
A．
B．
C．
D．
13.已知的值域为，，求范围．
14.（2018秋?马山县期中）已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【能力提升】
15.（2019秋?忻府区校级期中）已知函数的定义域与函数
的定义域相同，求函数的最大值与最小值．
16.求函数的单调区间．
17.（2019秋?高要市校级期中）已知定义域为的函数是奇函数
（1）求，的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
18.（2019秋?会宁县校级期中）已知奇函数，．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性并进行证明；
（3）若函数满足，求实数的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax，g(x)＝(a>0，且a≠1)．
(1)讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
(2)如果f(x)21世纪教育网
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