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突破4.2
指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
三、题型分析
(一)
指数函数的概念
例1、（2019秋?罗湖区校级期中）若函数是指数函数，则的值是
A．
B．3
C．3或
D．2
【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【变式训练1-2】．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【变式训练1-3】．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(?RA)∩B＝________.
【变式训练1-4】．（2019秋?南岗区校级期中）若，上述函数是指数函数的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
(二)
指数函数的图像与性质
例2．（2019·九龙坡?重庆市育才中学高一期中）(多选题)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】（2019秋?峨山县校级期末）若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是
(
)
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】．函数y＝的图象大致是( )
(三)
定点问题
例3．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【变式训练3-1】．（2019秋?金凤区校级期中）不论为何值时，函数恒过定点，则这个定点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．（2019秋?泸县校级期中）函数的图象恒过定点
A．
B．
C．
D．
(四)
利用指数函数的单调性比较大小
例4．已知关于x的不等式()x－4>3－2x，则该不等式的解集为( B )
A．[4，＋∞)
B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4)
D．(－4,1]
【变式训练4-1】（2018秋?泰山区校级期中）已知，，，则、、的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】（2019秋?潍坊期中）下列不等关系正确的是
A．
B．
C．
D．
(五)
求指数型复合函数的定义域与值域
例5．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
【变式训练5-1】．函数f(x)＝的值域是( )[]
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
【变式训练5-2】．求函数的定义域与值域．
【变式训练5-3】．求函数的定义域和值域．
(六)
求指数型复合函数的最值与单调区间
例6已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
【变式训练6-1】．（多选题）若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为( )
A．(5,8)
B．(2,8)
C．[6,8)
D．(3,8)
【变式训练6-2】．（2019春?咸宁校级月考）已知，，
（1）设，，，求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值．
【变式训练6-3】．（2019春?雁塔区校级期末）若函数，且在区间，上的最大值为
35，求的值．
【变式训练6-4】．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
(七)
指数型复合函数的综合问题
例7．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
【变式训练7-1】．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－.
(1)判断并证明y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)求y＝f(x)的值域．
【变式训练7-2】．（2019春?甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明在，上是减函数；
（3）解不等式．
【变式训练7-3】．已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且
过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．
四、迁移应用
1、（2019秋?金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域．
2、（2019秋?雁峰区校级期中）求函数的定义域和单调区间．
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精品试卷·第
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（共
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突破4.2
指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
三、题型分析
(一)
指数函数的概念
例1、（2019秋?罗湖区校级期中）若函数是指数函数，则的值是
A．
B．3
C．3或
D．2
【分析】根据指数函数的定义列出方程组，求出的值．
【答案】解：函数是指数函数，
，且，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数的概念与应用问题，是基础题目
【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【答案】C
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.故选：C.
【变式训练1-2】．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【答案】D
【解析】选D ∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．∵x＞0，∴f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，故选D.
【变式训练1-3】．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(?RA)∩B＝________.
【答案】{x|－1＜x＜0}
【解析】因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，所以?RA＝{x|x＜0}．
又B＝＝{x|－1＜x＜2}，所以(?RA)∩B＝{x|－1＜x＜0}．
【变式训练1-4】．（2019秋?南岗区校级期中）若，上述函数是指数函数的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据指数函数的定义，逐一分析给定函数的类型，可得答案．
【答案】解：是幂函数；
是指数函数；
是二次函数；
是二次函数；
是二次函数；
是一次函数（正比例函数，幂函数）；
是指数函数；
故选：．
(二)
指数函数的图像与性质
例2．（2019·九龙坡?重庆市育才中学高一期中）(多选题)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为函数
(,且)的图像经过第
一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.
【变式训练2-1】（2019秋?峨山县校级期末）若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的
A．
B．
C．
D．
【分析】根据指数函数的单调性和二次函数的开口方向进行判断是哪个选项．
【答案】解：
函数在上单调递增，可排除选项与
是开口向下的二次函数，可排除选项，故选：．
【变式训练2-2】．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；
当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；
当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.
故选D
【变式训练2-3】．函数y＝的图象大致是( )
【答案】B
【解析】当x＜0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
(三)
定点问题
例3．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【答案】A
【解析】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.
【变式训练3-1】．（2019秋?金凤区校级期中）不论为何值时，函数恒过定点，则这个定点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【分析】由指数函数的图象恒过定点，可令，计算即可得到所求定点．
【答案】解：可令，解得，
，
则不论为何值时，函数恒过定点．
故选：．
【变式训练3-2】．（2019秋?泸县校级期中）函数的图象恒过定点
A．
B．
C．
D．
【分析】运用指数函数的图象恒过定点，可令，即可得到所求定点．
【答案】解：可令，解得，
，
可得函数的图象
恒过定点．
故选：．
(四)
利用指数函数的单调性比较大小
例4．已知关于x的不等式()x－4>3－2x，则该不等式的解集为( B )
A．[4，＋∞)
B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4)
D．(－4,1]
【答案】B
【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．
【变式训练4-1】（2018秋?泰山区校级期中）已知，，，则、、的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据指数函数的性质判断即可．
【答案】解：是减函数，
故，
而，
故，
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查函数值的大小比较，是一道基础题．
【变式训练4-2】（2019秋?潍坊期中）下列不等关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据指数函数的性质分别判断各个选项的大小即可．
【答案】解：对于，，，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故错误；
对于，，，故正确；
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查函数值大小比较问题，是一道基础题．
(五)
求指数型复合函数的定义域与值域
例5．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
【答案】0
【解析】当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
【变式训练5-1】．函数f(x)＝的值域是( )[]
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
【答案】B
【解析】∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)．
【变式训练5-2】．求函数的定义域与值域．
【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．
【答案】解：，
设，则，
则函数等价为，
则函数的定义域为，
，
，
即函数的值域为．
【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．
【变式训练5-3】．求函数的定义域和值域．
【分析】根据指数函数的性质进行求解即可．
【答案】解：恒成立，
函数的定义域为，
由得，
即，
当时，不成立，
当，则，
由得，
即函数的值域为．
【点睛】本题主要考查函数的定义域和值域的求解，利用指数函数的性质是解决本题的关键．
(六)
求指数型复合函数的最值与单调区间
例6已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．
(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；
当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.
【变式训练6-1】．（多选题）若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为( BD )
A．(5,8)
B．(2,8)
C．[6,8)
D．(3,8)
【答案】BD
【解析】因为函数f(x)＝是R上的增函数，
所以解得4≤a<8.
【变式训练6-2】．（2019春?咸宁校级月考）已知，，
（1）设，，，求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值．
【分析】（1）根据指数函数的性质，即可求的最大值与最小值；
（2）将函数转化为关于的函数，即可求的最大值与最小值．
【答案】解：（1）设，，，则，即，即的最大值为9，最小值为1；
（2）设，，，
则，
函数转化为，
，
当时，最小为，
当时，最大为，
即的最大值为67，最小值3．
【点睛】本题主要考查函数的最值的计算，利用指数函数的单调性以及利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键．
【变式训练6-3】．（2019春?雁塔区校级期末）若函数，且在区间，上的最大值为
35，求的值．
【分析】将看成一个整体，对解析式进平方后，化为关于的二次函数，再对分类讨论，由指数函数的性质分别求出的范围，再由二次函数的单调性求出函数的最大值，由条件列出方程求解．
【答案】解：由题意得，，
①若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，
，解得或（舍去），
②若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，
，解得或（舍去），
综上可知，的值为5或．
【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的性质的应用，关键是将看成一个整体对解析式化简，考查了整体思想．
【变式训练6-4】．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
【解析】（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.
(七)
指数型复合函数的综合问题
例7．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
【解析】选ABD A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)【变式训练7-1】．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－.
(1)判断并证明y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)求y＝f(x)的值域．
【解析】：(1)y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，证明如下：
设x1＜x2＜0，则0＜3x1＜3x2＜1,3x1＋x2＜1.
∵f(x1)－f(x2)＝－＝
＝＜0，∴f(x1)＜f(x2)，即y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)∵函数f(x)在(－∞，0)上是增函数且连续，
∴f(x)≤f(0)＝－＝0.
又f(x)＞－，∴当x≤0时，f(x)＝－的值域为.而函数f(x)为奇函数，由对称性可知，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的值域为.综上所述，y＝f(x)的值域为.
【变式训练7-2】．（2019春?甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明在，上是减函数；
（3）解不等式．
【分析】（1）根据解出；
（2）设，计算并化简，只需证明即可；
（3）利用单调性和奇偶性得出，等价于，解出．
【答案】解：（1）是定义在上的奇函数，
，即，解得．
（2），
设，则，
，，
，，即，
，
在，上是减函数．
（3）是奇函数且在，上单调递减，
在上是减函数．
．
，
，
解得．
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．
【变式训练7-3】．已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且
过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．
【分析】（Ⅰ）设，由的图象过点，求得，可得的解析式．再根据，求得的值，可得的解析式．
（Ⅱ）根据，设，则，根据，从而根据函数的单调性的定义得出结论．
【答案】解：（Ⅰ）设，由的图象过点，可得，，．
故函数．
再根据为奇函数，可得，，即．
（Ⅱ），．
设，则，
由于，结合，可得，
，即，故在上单调递减．
【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．
四、迁移应用
1、（2019秋?金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域．
【分析】要求复合函数的单调递增（减区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增区间和值域后，即可得到答案．
【答案】解：设
则的单调递减区间为，，递增区间为，
函数为减函数，
故函数的单调递增区间为，，递减区间为，
值域为，
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．
2、（2019秋?雁峰区校级期中）求函数的定义域和单调区间．
【分析】由已知中函数的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．
【答案】解：要使函数有意义，只需，解得或
函数的定义域为，，
令
则为减函数
的单调递减区间是，，单调递增区间是，
所以原函数单增区间为，，单减区间为，
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域而错解．
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