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突破4.4
对数函数课时训练
【基础巩固】
1.（2019秋?林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0，且a≠1）
C．y＝lnx
D．
【分析】根据对数函数的定义即可得出．
【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．故选：C．
【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax（a∈R）③y＝log8x；
④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据对数函数的定义，y＝logax（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论．
【答案】解：①y＝logx2不是对数函数；②y＝logax（a∈R）不是对数函数；
③y＝log8x是对数函数；④y＝lnx是对数函数；⑤y＝logx（x+2）不是对数函数；
⑥y＝2log4x不是对数函数；⑦y＝log2（x+1）不是对数函数；综上所述，对数函数有2个，故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．
3.下列函数中，是对数函数的个数为（ ）
①y＝logax2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝logxa（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝logax（a＞0，a≠1）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．
【答案】解：①y＝logax2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数；
②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数
④y＝logxa（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数；
⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；
⑥y＝logax（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，
故是对数函数的有⑤⑥，共有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．
4.（2019秋?福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．
【答案】解：，，，且log54＞log53＞0，
∴，∴2＝log416＜log420＜log315，∴a＜c＜b．故选：C．
5.（2019秋?天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．
【答案】解：∵loga2＝2，log3b＝，c6＝7，∴
∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，∴c＜a＜b故选：C．
6.（2018秋?合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx
在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．
【答案】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，
∴函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．
7.（2019?西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝loga||的图
象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y＝loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y＝logax，而函数y＝loga||＝﹣loga|x|，即可得出图象．
【答案】解：∵当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．
因此，必有0＜a＜1．先画出函数y＝loga|x|的图象：红颜色的图象．
而函数y＝loga||＝﹣loga|x|，其图象如黑颜色的图象．故选：B．
8.（2018秋?赣州期中）函数y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（ ）
A．（）
B．（0，﹣）
C．（）
D．（）
【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．
【答案】解：y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）＝loga（x2﹣1），
令x2﹣1＝1，解得：x＝±，而x﹣1＞0，解得：x＞1，故x＝，故函数的图象过（，0），
故选：C．
9.（2018?肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（ ）
A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数
B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数
C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数
D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数
【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．
【答案】解：由得：x∈（﹣10，10），
故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），
故函数f（x）为偶函数，而f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），
y＝100﹣x2在（0，10）递减，y＝lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．
10.（2019秋?南充期末）已知函数f（x）＝loga（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f（x）在定义域上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
【分析】把（4，0）和（7，1）代入f（x）列出方程组解出a，m，根据对数函数的性质判断．
【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴，解得．
∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．
∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．故选：A．
11.（2018秋?肇庆期末）函数y＝的定义域为（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（1，2）∪（2，+∞）
D．（1，2）∪[3，+∞）
【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．
【答案】解：要使函数有意义
则解得x＞1且x≠2∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）故选：C．
12.（2019?西湖区校级模拟）函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．
【答案】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．
13.（2019秋?离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为
．
【分析】由已知中x≥0，y≥0且x+2y＝，可得y∈[0，]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．
【答案】解：∵x+2y＝，∴x＝﹣2y，由x≥0，y≥0，可得y∈[0，]，则8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，
令t＝﹣12y2+8y+1，当y∈[0，]时，t∈[1，]，又由u＝log0.5t为减函数，
故当t＝1时函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为0，故答案为：0．
14.（2019春?天津期末）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是
．
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，△＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．
【答案】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，y＝logax在R+上单调递增，∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，
∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．
【能力提升】
15．（2020·全国高一课时练习）（多选题）函数在上是减函数，那么（
）
A．在上递增且无最大值
B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
E.，满足在上是减函数
【答案】ADE
【解析】由得，函数的定义域为.
设则在上为减函数，在上为增函数，
且的图象关于对称，所以的图象关于对称，D正确；
因为在上是减函数，所以，所以E正确；
由上述分析知在上递增且无最大值，A正确，B错误；
又，所以C错误，故选：ADE.
16．（多选题）对于函数，下列说法正确的有（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．没有最小值
【答案】AD
【解析】对A,B,因为,故,
又,故为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为.
当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.
对D,因为当时,
为减函数.故且当时,
.
故没有最小值.故D正确.
故选：AD
17．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，解得.
综上可知：或.
（2）由不等式，即，
又，根据对数函数的性质，可得，
即，解得.
18.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
（12分）设，
（1）求函数的定义域；
（2）判断f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于x的不等式；
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）因为函数，所以且，解得，所以函数的定义域为；
（2）任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，即，所以函数为单调递减函数.
（3）因为函数，
令，则，
则不等式，即，
所以，解得或.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．
(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；
当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.
20．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
【解析】(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝
(at－a－t)．
∴f(x)＝
(ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝
(a－x－ax)＝－
(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即
(a2－a－2)≤4.
∴≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．
21．(本小题满分12分)声强级L1（单位：dB）由公式L1＝10lg（）给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2，求人听觉的声强级范围．
（2）平时常人交谈时的声强约为10﹣6W/m2，求其声强级．
【解析】（1）∵L1＝10lg（），
∴令I＝1得，L1＝10lg（1012）＝120，
令I＝10﹣12得，L1＝10lg1＝0，
∴人听觉的声强级范围为：[0，120]；
（2）∵L1＝10lg（），[]
令I＝10﹣6得，L1＝10lg（106）＝60，
∴其声强级为60．
22．（2020·浙江高一课时练习）设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
【答案】（1）；（2）3；（3）.
【解析】
设，由，，均为正数知.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
（1），
∴，，之间的关系为.
（2）.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.
23．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【高考真题】
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对数函数课时训练
【基础巩固】
1.（2019秋?林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0，且a≠1）
C．y＝lnx
D．
2.下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax（a∈R）③y＝log8x；
④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.下列函数中，是对数函数的个数为（ ）
①y＝logax2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝logxa（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝logax（a＞0，a≠1）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.（2019秋?福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
5.（2019秋?天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
6.（2018秋?合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝﹣logbx
在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2019?西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝loga||的图
象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2018秋?赣州期中）函数y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（ ）
A．（）
B．（0，﹣）
C．（）
D．（）
9.（2018?肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（ ）
A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数
B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数
C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数
D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数
10.（2019秋?南充期末）已知函数f（x）＝loga（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f（x）在定义域上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
11.（2018秋?肇庆期末）函数y＝的定义域为（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（1，2）∪（2，+∞）
D．（1，2）∪[3，+∞）
12.（2019?西湖区校级模拟）函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
13.（2019秋?离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为
．
14.（2019春?天津期末）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是
．
【能力提升】
15．（2020·全国高一课时练习）（多选题）函数在上是减函数，那么（
）
A．在上递增且无最大值
B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
E.，满足在上是减函数
16．（多选题）对于函数，下列说法正确的有（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．没有最小值
17．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
18.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
（12分）设，
（1）求函数的定义域；
（2）判断f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于x的不等式；
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)声强级L1（单位：dB）由公式L1＝10lg（）给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2，求人听觉的声强级范围．
（2）平时常人交谈时的声强约为10﹣6W/m2，求其声强级．
22．（2020·浙江高一课时练习）设，，均为正数，且.
（1）试求，，之间的关系.
（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较，，的大小.
23．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
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