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专题4.3
对数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二
对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型分析
(一)
求对数型函数的定义域问题
例1．（2020·全国高一课时练习）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5
B．2C．4D．2【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（
）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）下列等式不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．E.
【变式训练1-3】．（2019秋?龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（2，+∞）
(二)
对数与指数互化
例2．（2020·全国高一课时练习）如果，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【变式训练2-3】．（2020·全国高一课时练习）若，则________.
【变式训练2-4】．（2019·浙江高一期中）已知实数满足，且，且_____.
【变式训练2-5】．（2020·浙江绍兴）___________，______.
(三)
解对数方程
例3．（2020·全国高一课时练习）方程的解是（
）
A．
B．
C．x＝1
D．x＝2
【变式训练3-1】．先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝﹣②logx3＝﹣．
【变式训练3-2】．将下列对数式化为指数式求x值：
（1）logx27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；
（4）；（5）x＝16．
(四)
用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
【变式训练4-1】．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果是（
）
A．
B．1
C．2
D．4
【变式训练4-2】．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）计算下列各式的值.
（1）（2）
【变式训练4-3】．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
(五)
与对数有关的条件求值问题
例5．（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数的最小值为3，求的值.
.
【变式训练5-1】．（2020·浙江高一课时练习）设、、为正数，且满足.
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值.
(六)
对数的综合应用
例6．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【变式训练6-1】．（2018秋?渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3+log38．
（1）分别求P和Q．
（2）若2a＝5b＝m，且，求m．
【变式训练6-2】．已知2y?logy4﹣2y﹣1＝0，?log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．
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对数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点一
对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二
对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
三、题型分析
(一)
求对数型函数的定义域问题
例1．（2020·全国高一课时练习）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5
B．2C．4D．2【答案】D
【解析】由对数的意义得，解得且。
所以实数b的取值范围是且。选D。
【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（
）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【解析】
由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb.故正确；
对选项，，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：.
【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）下列等式不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．E.
【答案】DE
【解析】根据对数式的运算,可得,,故A?B成立;
由根式与指数式的互化可得,故C成立;
取,,发现D不成立;,故E不成立.故选：DE
【变式训练1-3】．（2019秋?龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（2，+∞）
【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．
【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，
∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．
(二)
对数与指数互化
例2．（2020·全国高一课时练习）如果，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用指数化对数得可，故选：C．
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝logaN，可将指数式与对数式互化．
【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；
（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．
【变式训练2-3】．（2020·全国高一课时练习）若，则________.
【答案】
【解析】设，则，所以.
故答案为：.
【变式训练2-4】．（2019·浙江高一期中）已知实数满足，且，且_____.
【答案】
【解析】
，解得
故答案为：
【变式训练2-5】．（2020·浙江绍兴）___________，______.
【答案】
【解析】由对数的运算性质得，
由对数的换底公式可得.
故答案为：；.
(三)
解对数方程
例3．（2020·全国高一课时练习）方程的解是（
）
A．
B．
C．x＝1
D．x＝2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以.故选：B.
【变式训练3-1】．先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝﹣②logx3＝﹣．
【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．
【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由logx3＝﹣，得，即．
【变式训练3-2】．将下列对数式化为指数式求x值：
（1）logx27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；
（4）；（5）x＝16．
【分析】利用指数式与对数的互化：ab＝N?logaN＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质loga1＝0及logaa＝1、指数的性质即可得出．
【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；
（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；
（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；
（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．
(四)
用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
【答案】A
【解析】因为.
故选：A.
【变式训练4-1】．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果是（
）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】原式.故选：C.
【变式训练4-2】．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）计算下列各式的值.
（1）（2）
【答案】（1）0；（2）4．
【解析】
（1）原式＝；
（2）原式＝．
【变式训练4-3】．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
【答案】（1）；（2）－1；（3）1；（4）.
【解析】
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝.
（4）原式＝＋＝＝＝.
(五)
与对数有关的条件求值问题
例5．（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数的最小值为3，求的值.
【答案】1.
【解析】∵的最小值为3，
∴，，
即，∴，则，∴.
∴.
【变式训练5-1】．（2020·浙江高一课时练习）设、、为正数，且满足.
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值.
【答案】（1）证明见解析；（2），，．
【解析】
（1）左边右边；
（2）由，即，得，①
由，得
，②
由题设知
，③
由①②③及、、为正数，可得，，．
(六)
对数的综合应用
例6．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【答案】
1
【解析】
，，
；
.
故答案为：；1
【变式训练6-1】．（2018秋?渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3+log38．
（1）分别求P和Q．
（2）若2a＝5b＝m，且，求m．
【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．
（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．
【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．
Q＝＝log39＝2．
（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．
【变式训练6-2】．已知2y?logy4﹣2y﹣1＝0，?log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．
【分析】由2y?logy4﹣2y﹣1＝2y?logy4﹣＝0可求y，再由?log5x＝﹣1求出x即可．
【答案】解：∵2y?logy4﹣2y﹣1＝2y?logy4﹣＝0，∴y＝16；
∵?log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．
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