22．3 实际问题与一元二次方程（1）
说课稿
各位老师:
今天我说课的内容是第二十二章 《一元二次方程》的第三节——实际问题与一元二次方程（第1课时）．我通过以下几方面分别进行说明：
一、教材分析
1、 教材所处的地位和作用
整个第三节共安排了3个探究活动.本节课讲授的是探究1传播问题和探究2增长率问题，比前面出现的实际问题在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际情况也更接近．它在教材中起着承前启后的作用，所选取的实际问题具有一定代表性，有利于帮助学生进一步讨论如何建立和利用方程模型来解决实际问题，有利于帮助学生体验一元二次方程的数学模型是解决实际问题的重要工具.本节课列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容．
2、教学目标：根据学生学习的实际情况，结合教材特点、新课程标准的要求，我拟定了本节课的教学目标：
（1）知识技能：1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
（2）数学思考：经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步培养学生分析问题和合理推理能力.
（3）解决问题：通过学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题，提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力，进一步培养学生数学建模的能力.
（4）情感态度：让学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯，获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心，感受数学学习的乐趣.
3、教学重、难点：
重点：进一步反应医院二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.
难点：在探究过程中正确地建立一元二次方程，特别是找出可以作为列方程依据的主要等量关系.
4、教法和学法：本节内容适合于在独立思考的基础上进行合作讨论在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值，在此基础上，我选择了以下的教法和学法：
教法：我采取的是探究式学习、启发式教学的方式开展活动，通过创设情景——学生自主探究——小组合作学习——小结等环节来开展探究活动.用以培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.
学法：我认为教给学生如何学是教师职责的一个重要方面，也是培养学生能力的关键，对于这节课的教学，我从兴趣入手，让学生在自主探究的活动过程中动口、动手、动脑，自主参与知识的发现、发展、形成的过程；让学生在小组合作、交流中掌握知识，从而达到解决实际问题的目的，并使学生的思维能力得到锻炼.
二、教学程序：
问题与情境 师生行为 设计意图
活动1：创设情景问题问题：（1）传播一个消息，规则：凡是知道这个消息的人，每人必须同时再向两个人传播这个消息.现在有1个人首先知道这个消息,问经过两轮传播后有多少人知道这个消息 教师展示问题情景教师组织学生回答结果.教师应重点关注：学生对传播速度问题中前后数据变化的理解是否清楚． 由于本节课的探究1有一定的难度，学生难以理解实际问题中的数量关系，通过设计“消息的传播”这一情景问题，激发兴趣，促进思维，帮助学生理解类似的实际问题中的数量关系，并为后续的数学活动作好铺垫.
活动2：自主探究探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：（1）如何理解“每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）你能用含未知数的代数式表示每一轮传染后患流感的人数吗？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感．（3）根据等量关系列方程并求解．为什么要舍去一解？（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？ 教师展示“探究1”，学生读题：教师提出问题（1）学生根据教师提问思考问题（1），并通过学生交流，明确由“每轮传染中平均一个人传染了几个人”可把本问题中的每轮传染中每一个人传染的人数看作是相同的.教师提出问题（2）学生独立思考，完成填空.小组内讨论交流．教师引导学生列出方程： 教师示范解答求解过程，并根据实际情况作答.教师引导学生观察方程的结构，发现方程的左边可化为（a+1）2 ，进而可引导学生猜想：按此传播速度，经过三轮后共有多少人患了流感？最后得出三轮后共有多少人患了流感.教师提提出问题（4）学生归纳，教师指出：生活中象细胞的分裂、流感的传染、信息的传播等都是在传播速度一定的情况下呈几何倍数增长的. “探究1”与情景问题的紧密相连，教学坡度的设计趋于合理，较好地体现了化特殊为一般，化具体到抽象的数学转化思想.通过教师设问和引导，帮助学生挖掘本问题中难以理解的数量之间的关系，有利于学生理解题意和解决问题，使数学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，使学生的思维发展收放合理，较好突出了教师是数学活动的组织者、引导者的作用. 在教师的引导下，学生自主探究出数量之间的关系，建立方程模型并求解，这样就真正促使学生掌握利用方程模型解决问题的一般策略，并且使数学学习的内容具有挑战性，同时也改变了学生的传统的学习方式，“人人获得了必需的数学”. 通过学生归纳，有利于学生类比地认识现实生活中的事物和事件，形成解决问题的一般策略.
活动3：合作学习教师引导：生活中除了增长类的问题外，还有呈一定规律的下降类的问题．探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元.哪种药品的成本的年平均下降率较大？（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元．（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大．（5）经过计算思考，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 教师引出“探究2”：请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）学生在教师引导下通过计算两种药品的年平均下降额，指出：年平均下降额≠年平均下降率，并使学生明确：①“年平均下降率”是一个百分数，②由“年平均下降率”可知，在两年的时间里，把药品成本每次的下降的幅度看成是相同的.教师提出问题（2）学生思考为了解答的方便，设甲种药品的年平均下降率为x 好还是x%好.教师提出问题（3）学生明确要把不符合实际意义的根舍去．教师提出问题（4）学生先独立完成，来检查对此探究的掌握程度。完成后小组内适当交流。此探究是平均增长率（下降率）问题，一元二次方程应用中的重点类型，要引起同学们注意．教师深入到学生当中，了解各小组的解答情况，尤其关注各小组成员建立的方程是否正确，并根据实际情况对解答有困难的小组进行点拨和引导.教师提出问题（5）学生思考后回答，教师补充.明确：成本下降额较大的药品，它的下降率不一定较大；要全面比较几个对象的变化状况，可以从变化的数量和变化的幅度来评价.以上所有的问题应发挥小组的作用，加强小组内的讨论交流． 教师通过计算两种药品的年平均下降额以及引导学生理解“年平均下降率”的意义，使学生运用批判性的思维认识到“年平均下降额”是成本一个下降的具体数量，而“年平均下降率”是一个下降的幅度，即是一个百分数，进而理解“年平均下降额”≠“年平均下降率”. 通过学生思考，培养学生用联系发展的观点看待事物，逐步树立辨证唯物主义的观点. “数学教学是数学活动的教学”,小组中每个成员彼此都是学习伙伴,他们通过学习交流,互相讨论,思维方法的沟通乃至思维碰撞,集思广益,以达到共同提高的目的.
活动4：小结、布置作业问题（1）探究1和探究2的方程模型有什么相同之处吗？你有什么认识？（2）列一元二次方程解应用题的步骤有那一些？（3）通过本节课的学习，你有什么感受？（4）布置作业：教材Ｐ48习题22.3第4、7题Ｐ53复习题22第9题 教师提出问题，学生回答，教师总结．在小结时，教师应重点关注：（1）学生对知识的归纳、总结、整理能力；（2）学生对知识的横向连接能力，数学语言表达能力．学生独立完成作业，教师批改后关注：（1）学生能否正确分析等量关系；（2）学生的解题思路是否完整，解题过程是否规范． 帮助学生形成解决同类实际问题的经验和策略，初步懂得一些数学思想方法，通过学生交流获得的感受，使学生获得成功的喜悦，树立了学好数学的自信心．学生巩固提高．
三、几点说明：
1、板书设计：
实际问题与一元二次方程
活动1： 消息的传播问题 活动2： 流感的传染问题 活动3：药品的成本的下降率问题 活动4：小结、布置作业
2、时间大致分配：创设情景约5分钟，自主探究约10分钟、合作学习约20分钟，小结、布置作业约5分钟．
3、教学手段：利用幻灯片教学，激发学习兴趣，可以提高教学效率和教学质量．
4、教学评价：积极评价学生的探究情况，及时发现学生探究中各种优点，适时给予表扬，充分发挥学生的主体作用和小组合作交流的有时。教师要根据课堂教学过程中可能出现的问题进行必要的反馈和调控，做好数学活动的组织者、引导者和合作者．初中数学教学设计
章节名称：_22.3实际问题与一元二次方程__,节次 3_，第_1课时
一、教学任务分析
教学目标 知识技能 会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
数学思考 经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步培养学生分析问题和合理推理能力.
解决问题 通过学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题，提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力，进一步培养学生数学建模的能力.
情感态度 让学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯，获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心，感受数学学习的乐趣.
重点 进一步反应医院二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.
难点 在探究过程中正确地建立一元二次方程，特别是找出可以作为列方程依据的主要等量关系.
二、教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1：创设情景问题活动2：自主探究（按一定传播速度传播问题）活动3：合作学均增长率或降低率问题）活动4：小结、布置作业 为探究1的更好理解做准备.探究问题中的数量关系及其变化规律，提高分析问题的能力.能熟练的分析和解决平均增长率或降低率应用题的基本思路和方法.总结，提高对知识的认识能力和实际解决问题的能力及运算能力.
三、教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
活动1：创设情景问题问题：（1）传播一个消息，规则：凡是知道这个消息的人，每人必须同时再向两个人传播这个消息.现在有1个人首先知道这个消息,问经过两轮传播后有多少人知道这个消息 教师展示问题情景教师组织学生回答结果.教师应重点关注：学生对传播速度问题中前后数据变化的理解是否清楚． 由于本节课的探究1有一定的难度，学生难以理解实际问题中的数量关系，通过设计“消息的传播”这一情景问题，激发兴趣，促进思维，帮助学生理解类似的实际问题中的数量关系，并为后续的数学活动作好铺垫.
活动2：自主探究探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：（1）如何理解“每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）你能用含未知数的代数式表示每一轮传染后患流感的人数吗？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感．（3）根据等量关系列方程并求解．为什么要舍去一解？（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？ 教师展示“探究1”，学生读题：教师提出问题（1）学生根据教师提问思考问题（1），并通过学生交流，明确由“每轮传染中平均一个人传染了几个人”可把本问题中的每轮传染中每一个人传染的人数看作是相同的.教师提出问题（2）学生独立思考，完成填空.小组内讨论交流．教师引导学生列出方程： 教师示范解答求解过程，并根据实际情况作答.教师引导学生观察方程的结构，发现方程的左边可化为（a+1）2 ，进而可引导学生猜想：按此传播速度，经过三轮后共有多少人患了流感？最后得出三轮后共有多少人患了流感.教师提提出问题（4）学生归纳，教师指出：生活中象细胞的分裂、流感的传染、信息的传播等都是在传播速度一定的情况下呈几何倍数增长的. “探究1”与情景问题的紧密相连，教学坡度的设计趋于合理，较好地体现了化特殊为一般，化具体到抽象的数学转化思想.通过教师设问和引导，帮助学生挖掘本问题中难以理解的数量之间的关系，有利于学生理解题意和解决问题，使数学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，使学生的思维发展收放合理，较好突出了教师是数学活动的组织者、引导者的作用. 在教师的引导下，学生自主探究出数量之间的关系，建立方程模型并求解，这样就真正促使学生掌握利用方程模型解决问题的一般策略，并且使数学学习的内容具有挑战性，同时也改变了学生的传统的学习方式，“人人获得了必需的数学”. 通过学生归纳，有利于学生类比地认识现实生活中的事物和事件，形成解决问题的一般策略.
活动3：合作学习教师引导：生活中除了增长类的问题外，还有呈一定规律的下降类的问题．探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元.哪种药品的成本的年平均下降率较大？（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元．（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大．（5）经过计算思考，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 教师引出“探究2”：请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）学生在教师引导下通过计算两种药品的年平均下降额，指出：年平均下降额≠年平均下降率，并使学生明确：①“年平均下降率”是一个百分数，②由“年平均下降率”可知，在两年的时间里，把药品成本每次的下降的幅度看成是相同的.教师提出问题（2）学生思考为了解答的方便，设甲种药品的年平均下降率为x 好还是x%好.教师提出问题（3）学生明确要把不符合实际意义的根舍去．教师提出问题（4）学生先独立完成，来检查对此探究的掌握程度。完成后小组内适当交流。此探究是平均增长率（下降率）问题，一元二次方程应用中的重点类型，要引起同学们注意．教师深入到学生当中，了解各小组的解答情况，尤其关注各小组成员建立的方程是否正确，并根据实际情况对解答有困难的小组进行点拨和引导.教师提出问题（5）学生思考后回答，教师补充.明确：成本下降额较大的药品，它的下降率不一定较大；要全面比较几个对象的变化状况，可以从变化的数量和变化的幅度来评价.以上所有的问题应发挥小组的作用，加强小组内的讨论交流． 教师通过计算两种药品的年平均下降额以及引导学生理解“年平均下降率”的意义，使学生运用批判性的思维认识到“年平均下降额”是成本一个下降的具体数量，而“年平均下降率”是一个下降的幅度，即是一个百分数，进而理解“年平均下降额”≠“年平均下降率”. 通过学生思考，培养学生用联系发展的观点看待事物，逐步树立辨证唯物主义的观点. “数学教学是数学活动的教学”,小组中每个成员彼此都是学习伙伴,他们通过学习交流,互相讨论,思维方法的沟通乃至思维碰撞,集思广益,以达到共同提高的目的.
活动4：小结、布置作业问题（1）探究1和探究2的方程模型有什么相同之处吗？你有什么认识？（2）列一元二次方程解应用题的步骤有那一些？（3）通过本节课的学习，你有什么感受？（4）布置作业：教材Ｐ48习题22.3第4、7题Ｐ53复习题22第9题 教师提出问题，学生回答，教师总结．在小结时，教师应重点关注：（1）学生对知识的归纳、总结、整理能力；（2）学生对知识的横向连接能力，数学语言表达能力．学生独立完成作业，教师批改后关注：（1）学生能否正确分析等量关系；（2）学生的解题思路是否完整，解题过程是否规范． 帮助学生形成解决同类实际问题的经验和策略，初步懂得一些数学思想方法，通过学生交流获得的感受，使学生获得成功的喜悦，树立了学好数学的自信心．学生巩固提高．(共14张PPT)
22.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）
学习目标：
1. 会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．
2. 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理
3. 进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点：
进一步反应一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.
难点：
在探究过程中正确地建立一元二次方程，特别是找出可以作为列方程依据的主要等量关系.
活动1：创设情景问题
传播一个消息，规则：凡是知道这个消息的人，每人必须同时再向两个人传播这个消息.现在有1个人首先知道这个消息,问经过两轮传播后有多少人知道这个消息
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第一轮
第二轮
经过两轮传播后知道这个消息的人数是：
1+2+2(1+2)=9
探究1：
有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
活动2：自主探究
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式示，第二轮后共有_______人患了流感．
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
解题过程：
列方程
1＋x+x(1+x)=121
解方程，得
x1=_________,
x2=_________.
平均一个人传染了_______个人．
10
－12
10
也可以写成：
(1+x)2=121
思考：
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
平均每人传染10人，第二轮传染的人数是110人，第三轮为10×110＝1100，三轮共传染了1+10+110+1100＝1221人
三轮传染的总人数为:
( 1 + x ) + x ( 1 + x ) + x · x ( 1 + x )
= ( 1+ 10) + 10 ( 1+10 ) + 10×10( 1+ 10)
= 11+110+1100
=1221
活动3：合作学习
探究2：
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：
容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为：_________________________
乙种药品成本的年平均下降额为：__________________________________
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是年平均
下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．
（5000－3000）÷2＝1000（元）
（6000－3600）÷2＝1200（元）
求甲种药品的年平均下降率：
设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5000（1－x）2元，于是有
5000（1－x）2 = 3000
解方程，得:
x1≈0.225，x2≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％
6000 ( 1－y )2 = 3600
设乙种药品的下降率为y
列方程
解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％．
求乙种药品的年平均下降率：
所以，甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％．
思考：
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
得到的结论：甲乙两种药品的平均下降率相同成本
下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．
(2) 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它
们的平均下降率．
（3）通过本节课的学习，你有什么感受？
活动4：小结
（1）探究1和探究2的方程模型有什么相同之处
吗？你什么认识？
（2）列一元二次方程解应用题的步骤有那一些？
布置作业：
教材 Ｐ48习题22.3 第4、7题
Ｐ53复习题22 第9题
谢 谢 ！
