相交线
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解两条线的位置关系
?
了解相交线形成的角
?
掌握垂线的概念和性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.相交线：邻补角及对顶角的定义；2.垂直：概念及画法意义；3.同位角、内错角、同旁内角的认识.
学习目标
1.理解邻补角和对顶角的概念，并能够灵活区分；2.理解垂直的概念及在生活中的应用；3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念，同时能够熟练认识.
学习重点
垂线的画法及各种角之间的辨认及关系.
学习难点
同位角、内错角及同旁内角的应用.
【知识导图】
我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线．研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题．
对顶角：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角．（成对出现且相等，两边互为反向延长线）
邻补角：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角．
（相邻且和为180度）
垂线
(1)定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
符号语言记作：
如图所示：AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简称：垂线段最短.
注意：
过一点画已知直线的垂线，首先应分清是过直线上一点，还是过直线外一点画已知直线的垂线，前者该点即为垂足，画一条线段或射线的垂线，实际是画它们所在直线的垂线.
三线八角
如图：直线a1、a2被直线a3所截，构成了八个角．
学生在教师的组织下完成以下活动：
观察∠1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同侧，并且分别位于直线a1、a2的同一侧，这样的一对角叫做“同位角”．
观察∠3与∠5的位置：它们分别在第三条直线a3的异侧，并且都位于两条直线a1、a2之间，这样的一对角叫做“内错角”．
观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同旁，并且都位于两条直线a1、a2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”．
寻找一个角的同位角、内错角、同旁内角，首先应该把这个角放在一个“三线八角”的基本图形中，其次，不管是同位角，还是内错角或是同旁内角，它们都具有一个共同特征：这两个角有一对边在同一直线上，这条共同的直线就是第三边，而两个角剩下的两边所在直线就是另两直线.
如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3=
．
过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（
）
如图，直线AB，CD
相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠EOD=25°，则∠AOC的度数为
A．
B．
C．
D．
如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述：
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1=∠4
④∠4+∠5=180°
其中，正确的是
A．①③
B．②④
C．②③
D．③④
1.如图所示，∠1、∠2为同位角的是
(
)
A.
B.
C.
D.
2.
若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离??
(?
?)
A．等于3cm
B．大于3cm而小于4cm???
;
C．不大于3cm
D．小于3cm
3.如图，∠1与∠2是对顶角的是（
）
1.小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点.
这时，∠ABC的度数是（
）
A.120°
B.135°
C.150°
D.160°
2.
如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中∠α=24°，则∠β的度数为（ ）
?
A．24°??
B．21°??
C．30°
D．45°
3.
如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（
）
A．120°
B．130°
C．135°
D．140°
1.下列说法正确的是（????）?
A、相等的角是对顶角????????????B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离?
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直
?
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2.
如图所示,?直线a,b,c两两相交,?∠1=2∠3,?∠2=65°,?求∠4的度数。
3.
如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为________，∠BOE的邻补角为________；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
本节课主要针对相交线的相关知识进行综合讲解，重点是根据图形找到同位角、内错角、同旁内角.
注意证明过程的书写规范.
1.
如图所示,?∠1和∠2是对顶角的图形有(???)?
A.1个???????B.2个???????C.3个??????D.4个
2.判断以下两条直线是否互相垂直：
两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
两条直线相交所成的四个角相等；
两条直线相交，有一组邻补角相等；
两条直线相交，对顶角互补．
3.如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（????）?
A.∠AOC=∠AOD?????????B.∠AOD=∠BOD?
C.∠AOC=∠BOD?????????D.以上
1.
如图1所示,下列说法不正确的是(???)???
?
A.点B到AC的垂线段是线段AB;??????????????
B.点C到AB的垂线段是线段AC?
C.线段AD是点D到BC的垂线段;?????????????
D.线段BD是点B到AD的垂线段
2.如图，
OC⊥AB于点O，∠1=∠2，
则图中互余的角有
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（????）?
A．∠AOF=45°???????????????????B．∠BOD=∠AOC?
C．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角
1.下列语句错误的有（??????）个.?
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角?（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角?（3）如果两个角相等，那么这两个角互补?（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角?
A、1??????????????B、2??????????????C、3?????????????D、4
2.如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？
3.如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，且OE平分∠BOC，若∠AOC=42°．
（1）∠AOC与______互为邻补角？
（2）与∠EOA互为补角的角是哪些角？并说明理由．
（3）求∠BOE的度数．
[解答]（1）∠AOC与∠AOD，_______互为邻补角
（2）∠AOE+∠EOB=180°
所以∠EOA与∠EOB________．
因为∠COE=_____．
所以∠AOE+_______=180°
∠AOE与______也互补
（3）因为∠AOC=42°
而∠AOC+∠BOC=180°
所以∠BOC=180°-42°=_____．
又因为OE平分_____．
所以∠BOE=×_____=_____．
第01讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
对顶角、邻补角
考点2
知识点2
垂线
A
B
C
D
O
知识点3
三线八角
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高相交线
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.相交线：邻补角及对顶角的定义；2.垂直：概念及画法意义；3.同位角、内错角、同旁内角的认识.
教学目标
1.理解邻补角和对顶角的概念，并能够灵活区分；2.理解垂直的概念及在生活中的应用；3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念，同时能够熟练认识.
教学重点
垂线的画法及各种角之间的辨认及关系.
教学难点
同位角、内错角及同旁内角的应用.
【知识导图】
【教学建议】
“在同一平面内”,学生在学习中是很容易忽视的,导致在做练习题时误解。教师在本章书导入“不重合的两直线的位置关系”时,就要强调“在同一平面内”.教师可以用实物去引导学生思考,让学生有一个空间的概念,培养学生思维的严谨周密性,也为学生在以后学习《立几》作铺垫.
但是,老师应该清晰地指出，在本章书中,我们主要是研究平面的几何.
我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线．研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题．
对顶角：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角．（成对出现且相等，两边互为反向延长线）
邻补角：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角．
（相邻且和为180度）
垂线
(1)定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
符号语言记作：
如图所示：AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简称：垂线段最短.
注意：
过一点画已知直线的垂线，首先应分清是过直线上一点，还是过直线外一点画已知直线的垂线，前者该点即为垂足，画一条线段或射线的垂线，实际是画它们所在直线的垂线.
三线八角
如图：直线a1、a2被直线a3所截，构成了八个角．
学生在教师的组织下完成以下活动：
观察∠1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同侧，并且分别位于直线a1、a2的同一侧，这样的一对角叫做“同位角”．
观察∠3与∠5的位置：它们分别在第三条直线a3的异侧，并且都位于两条直线a1、a2之间，这样的一对角叫做“内错角”．
观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同旁，并且都位于两条直线a1、a2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”．
寻找一个角的同位角、内错角、同旁内角，首先应该把这个角放在一个“三线八角”的基本图形中，其次，不管是同位角，还是内错角或是同旁内角，它们都具有一个共同特征：这两个角有一对边在同一直线上，这条共同的直线就是第三边，而两个角剩下的两边所在直线就是另两直线.
如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3=
．
【答案】135?
【解析】∠1与∠2互余和为90?且∠1与∠2相等，所以各得45?，同时∠1与∠3互为邻补角，能够得到∠3为135?
过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（
）
【答案】D
【解析】BD要和AC所在直线垂直。
如图，直线AB，CD
相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠EOD=25°，则∠AOC的度数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】垂直定义，∠EOA=90?，所以∠AOD=65?，∠AOC与∠AOD互为邻补角，∠AOC=115?
如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述：
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1=∠4
④∠4+∠5=180°
其中，正确的是
A．①③
B．②④
C．②③
D．③④
【答案】C.
【解析】∠1和∠2互为邻补角；∠4+∠5=180°不能直接说明，因为没有给出直接的关系。
1.如图所示，∠1、∠2为同位角的是
(
)
A.
B.
C.
D.
2.
若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离??
(?
?)
A．等于3cm
B．大于3cm而小于4cm???
;
C．不大于3cm
D．小于3cm
3.如图，∠1与∠2是对顶角的是（
）
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】它们都在第三条直线的同侧，并且分别位于两直线的同一侧.
2.【答案】C.
【解析】根据点到直线的距离的定义,点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度,垂线段的长度不能超过PC的.
3.
【答案】C.
【解析】共顶点，反向延长线.
1.小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点.
这时，∠ABC的度数是（
）
A.120°
B.135°
C.150°
D.160°
2.
如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中∠α=24°，则∠β的度数为（ ）
?
A．24°??
B．21°??
C．30°
D．45°
3.
如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（
）
A．120°
B．130°
C．135°
D．140°
答案与解析
1.【答案】C.
【解析】
∠ABC=30°+
90°+
30°=150°.
2.【答案】B
【解析】在△ACB中,
∠ACB=90°,
∠CAB=∠B=45°
EF
ll
MN
EAC+∠ACM=180°
,
∠B=180°-90°-45°-24°=21°.
故选B.
3.【答案】C.
【解析】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，EO⊥CD，则∠EOD和∠EOC都是直角；又因为AB平分∠EOD，所以∠AOD为45°．∠AOD与∠COB是对顶角，所以∠COB也是45°．因为∠COB与∠BOD互补，所以∠BOD＝180°－45°＝135°.
1.下列说法正确的是（????）?
A、相等的角是对顶角????????????B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离?
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直
?
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2.
如图所示,?直线a,b,c两两相交,?∠1=2∠3,?∠2=65°,?求∠4的度数。
3.
如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为________，∠BOE的邻补角为________；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
答案与解析
1.【答案】C
【解析】对顶角须满足边为反向延长线；直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离；D中必须强调的是直线外的一点.
2.【答案】32.5?
【解析】对顶角相等，∠4=65?÷2=32.5?
3.【答案】解：(1)
∠BOD ∠AOE
(2)
设∠BOE＝2x°，则∠EOD＝3x°，∴∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝5x°.∵∠BOD＝∠AOC＝70°，即5x＝70，∴x＝14，∴∠BOE＝2x°＝28°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝152°.
本节课主要针对相交线的相关知识进行综合讲解，重点是根据图形找到同位角、内错角、同旁内角.
注意证明过程的书写规范.
1.
如图所示,?∠1和∠2是对顶角的图形有(???)?
A.1个???????B.2个???????C.3个??????D.4个
2.判断以下两条直线是否互相垂直：
两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
两条直线相交所成的四个角相等；
两条直线相交，有一组邻补角相等；
两条直线相交，对顶角互补．
3.如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（????）?
A.∠AOC=∠AOD?????????B.∠AOD=∠BOD?
C.∠AOC=∠BOD?????????D.以上
答案与解析
1.【答案】A
【解析】对顶角共定点，两边互为反向延长线.
2.【答案】上述说法中的两条直线均互相垂直．
【解析】
解:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直；两条直线相交所成的四个角相等,这两条直线互相垂直；两条直线相交，有一组邻补角相等,这两条直线互相垂直；两条直线相交，对顶角互补,这两条直线互相垂直.
3.【答案】C.
1.
如图1所示,下列说法不正确的是(???)???
?
A.点B到AC的垂线段是线段AB;??????????????
B.点C到AB的垂线段是线段AC?
C.线段AD是点D到BC的垂线段;?????????????
D.线段BD是点B到AD的垂线段
2.如图，
OC⊥AB于点O，∠1=∠2，
则图中互余的角有
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（????）?
A．∠AOF=45°???????????????????B．∠BOD=∠AOC?
C．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角
答案与解析
1.
【答案】C.
2.
【答案】D.
3.
【答案】C.
【解析】互余和为90度，互补和为180度.
1.下列语句错误的有（??????）个.?
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角?（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角?（3）如果两个角相等，那么这两个角互补?（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角?
A、1??????????????B、2??????????????C、3?????????????D、4
2.如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？
3.如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，且OE平分∠BOC，若∠AOC=42°．
（1）∠AOC与______互为邻补角？
（2）与∠EOA互为补角的角是哪些角？并说明理由．
（3）求∠BOE的度数．
[解答]（1）∠AOC与∠AOD，_______互为邻补角
（2）∠AOE+∠EOB=180°
所以∠EOA与∠EOB________．
因为∠COE=_____．
所以∠AOE+_______=180°
∠AOE与______也互补
（3）因为∠AOC=42°
而∠AOC+∠BOC=180°
所以∠BOC=180°-42°=_____．
又因为OE平分_____．
所以∠BOE=×_____=_____．
答案与解析
1.【答案】C
2.【解析】（1）∠COB；
（2）互为邻补角，∠BOE，∠COE，∠COE；
（3）138°，∠COB，138°，69°
3.【解析】∵∠PCD=90°-∠1，
又∵∠1=30°，
∴∠PCD=90°-30°=60°，
而∠PCD=∠ACF，
∴∠ACF=60°．
第01讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
对顶角、邻补角
考点2
知识点2
垂线
A
B
C
D
O
知识点3
三线八角
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
