平行线判定及性质
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解平行线
?
掌握平行线的判定条件
?
掌握平行线的三个性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.直线之间的位置关系；2.平行线的判定及性质；3.命题的判定.
学习目标
1.掌握同一平面内两直线的相交和平行关系；2.理解并能熟练应用平行线的判定及性质；3.能够清楚地判断命题的真假.
学习重点
平行线的判定及性质.命题的判断
学习难点
平行线的判定和性质的综合应用
【知识导图】
两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？
答：两条直线相交有且仅有一个交点．
在平面内，两条直线除了相交外，有其他的位置关系吗？
答：不相交的情况．
同一平面内，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行．换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号．
平行公理及推论
已知：直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
观察画图，我们可得：
平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
比较平行公理和垂线：
共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的．
不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外；垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外．
平行公理的推论：
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．用数学符号来表示：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
平行线判定
(1)怎样判别两条直线是否平行.
(2)平行线有什么特征?
(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?
(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.
平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系.
学生练习:①填空:如图(1),当_______时,a∥c,理由是________;当______时,b∥c,理由是_________;当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________.
(1)
(2)
(3)
②如图(2),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么?
教师根据学生情况酌情给予引导.
平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补．
命题、定理、证明
命题的组成.
①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式.
1、判断一件事情的句子，叫
命题
.
2、每个命题都是由题设，
结论
两部分组成的。题设是
已知事项
；结论是由已知事项推出的
未知事项
.
3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题.
4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明.
5、尝试反馈理解新知
明确命题有正确与错误之分：
命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2满足什么关系，a∥b，请说明理由．
如图，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
已知∠1=35°，
则∠2的度数是
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
下列命题中，假命题是
A.
对顶角相等
B.
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°-
B．120°-
C．60+
D．60°-
1.如图所示，AB//CD，若∠1=144°，则∠2的度数是
A．30°
B．32°
C．34°
D．36°
2.在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出右图的画法，
这种画平行线方法的依据是
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等
D．两直线平行，同位角相等
3.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．下面左图是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成右图的数学问题：已知AB∥CD，
∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是
．
1.下列命题中是假命题的是
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同旁内角互补，两直线平行
C．若，，那么
D．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
2.下列说法正确的有(??
?)．
①
若线段，则线段可以看作是由线段平移得到的
②
若线段，则线段可看作是由线段平移得到的
③
若且，则线段平移后得到线段
④
平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化
A．4个????
B．3个????C．2个???
?D．1个
3.如图，EF⊥CD于F，GH⊥CD于H，已知∠1=70°，求∠3的度数．
1.如图所示，∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过O点且平行于BC，则∠BOC=
度．
2.
如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC．
3.完成下面的证明．
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（
）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴
．（
）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（
）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
本节课重点归纳：
（1）利用平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理，及求一些角度的度数
（2）正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结
（3）平行线的性质和判定
1.下列语句不是命题的是(????
)．
A．两条直线相交只有一个交点????
B．两点之间，线段最短
C．熊猫没有翅膀．?????????
D．连接A、B两点
2.
下列说法中，正确的说法有(???
)．
①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不变；④平移三角形ABC得到三角形，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤平移三角形ABC得到三角形，三角形的面积不变．
A．①②③④???
B．①②③④⑤???
C．①②③⑤????
D．①③④⑤??
3.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（??
）
A．∠α+∠β+∠γ=180°
B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180°
D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
1.我们知道“对于实数m，n，k，若m=n，
n=k，则m=k”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：
①a，b，c是直线，若a//b，
b//c，则a//c.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余.
其中正确的命题是
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
2.下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（
）
A．①②③
B．①③
C．②③
D．①
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE＝72°，则∠AOF的度数为（
）
A．72°
B．60°
C．54°
D．36°
1.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D．”
如图2，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，依据基本事实
，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实
矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．
请补充上述证明过程中的两条基本事实．
2.如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝
（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
3.完成下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB
，EF平分∠DEB．求证：
CD∥EF．
证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB
=∠
（
）．
∵CD平分∠ACE，EF平分∠DEB，
∴∠1=∠
,
∠2=∠
．
∴∠
=∠
．
∴CD∥EF（
）．
第02讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平行线定义
考点2
考点3
考点2
知识点2
平行推论
考点4
知识点3
平行线判定
知识点4
平行线性质
考点6
知识点5
命题判断
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高平行线判定及性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.直线之间的位置关系；2.平行线的判定及性质；3.命题的判定.
教学目标
1.掌握同一平面内两直线的相交和平行关系；2.理解并能熟练应用平行线的判定及性质；3.能够清楚地判断命题的真假.
教学重点
平行线的判定及性质.命题的判断
教学难点
平行线的判定和性质的综合应用
【知识导图】
两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？
答：两条直线相交有且仅有一个交点．
在平面内，两条直线除了相交外，有其他的位置关系吗？
答：不相交的情况．
同一平面内，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行．换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与b是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号．
平行公理及推论
已知：直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
观察画图，我们可得：
平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
比较平行公理和垂线：
共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的．
不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外；垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外．
平行公理的推论：
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．用数学符号来表示：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
平行线判定
(1)怎样判别两条直线是否平行.
(2)平行线有什么特征?
(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?
(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.
平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系.
学生练习:①填空:如图(1),当_______时,a∥c,理由是________;当______时,b∥c,理由是_________;当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________.
(1)
(2)
(3)
②如图(2),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么?
教师根据学生情况酌情给予引导.
平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角互补．
命题、定理、证明
命题的组成.
①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
②命题的形成，可以写成“如果……，那么……”的形式.
1、判断一件事情的句子，叫
命题
.
2、每个命题都是由题设，
结论
两部分组成的。题设是
已知事项
；结论是由已知事项推出的
未知事项
.
3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题.
4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明.
5、尝试反馈理解新知
明确命题有正确与错误之分：
命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2满足什么关系，a∥b，请说明理由．
【答案】
解：∠1+∠2=180°，则a∥b．
∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
【解析】要判定a∥b，根据同旁内角互补，两直线平行可知，∠2+∠3=180°，又由对顶角相等得∠1=∠3，故∠1与∠2的关系可求．
如图，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
已知∠1=35°，
则∠2的度数是
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】D
【解析】两直线平行，内错角相等.
下列命题中，假命题是
A.
对顶角相等
B.
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
【答案】B
【解析】两直线平行，同旁内角互补.
如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°-
B．120°-
C．60+
D．60°-
【答案】D.
【解析】
连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，由此可以证明∠0=∠ABO+∠DCO．
解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，
而∠CBO+∠BCO+∠0=180°，
∴∠0=∠ABO+∠DCO=60°+．
故填空答案：60+．
1.如图所示，AB//CD，若∠1=144°，则∠2的度数是
A．30°
B．32°
C．34°
D．36°
2.在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出右图的画法，
这种画平行线方法的依据是
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等
D．两直线平行，同位角相等
3.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．下面左图是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成右图的数学问题：已知AB∥CD，
∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是
．
【答案解析】
1.【答案】D.
【解析】两直线平行，同旁内角互补.
2.【答案】B.
3.【答案】30?
【解析】两直线平行，同位角相等；三角形内角和180?.
1.下列命题中是假命题的是
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同旁内角互补，两直线平行
C．若，，那么
D．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
2.下列说法正确的有(??
?)．
①
若线段，则线段可以看作是由线段平移得到的
②
若线段，则线段可看作是由线段平移得到的
③
若且，则线段平移后得到线段
④
平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化
A．4个????
B．3个????C．2个???
?D．1个
3.如图，EF⊥CD于F，GH⊥CD于H，已知∠1=70°，求∠3的度数．
答案与解析
1.
【答案】D
【解析】两角互补和为180?，也可以是两个90?.
2.【答案】D.
【解析】本题考查平移的概念及其与平行线的关系．图形的平移涉及平移的方向与距离两个要素．据此可以判断：①的说法不正确，因为不知道线段，是否平行；②的说法也不正确，因为线段，平行，但长度未必相等；③的说法正确，因为线段，既平行，且长度相等；④的说法不正确，因为平移前后的两个图形，形状与大小不变．所以答案应为D．
3.【答案】
∵
EF⊥CD，GH⊥CD，∴
∠EFC=∠GHC=90°，∴
EF∥GH，∴
∠2=∠1=70°，
∴
∠3=∠2=70°．
【解析】
由垂直定义可得∠EFC=∠GHC=90°，从而可判定得出EF∥GH，继而可得∠2=∠1=70°，从而可得∠3的度数.
1.如图所示，∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过O点且平行于BC，则∠BOC=
度．
2.
如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC．
3.完成下面的证明．
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（
）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴
．（
）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（
）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
1.【答案】125．
【解析】解：∵∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴
∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=30°，
又∵
EF经过O点且平行BC，
∴
∠EOB=∠OBC=25°，∠FOC=∠OCB=30°，
而
∠EOF是平角即180°，
∴
∠BOC=180°-∠EOB
-∠FOC=180°-25°-30°=125°，
则
∠BOC=125°．
2.
【答案】
证明：∵
EG⊥BC，AD⊥BC，
∴
AD∥EG，
∴
∠3=∠1，∠E=∠2；
∵
∠3=∠E，
∴
∠1=∠2，
∴
AD平分∠BAC．
【解析】
求证AD平分∠BAC，即证∠1=∠2．根据题意易证AD∥EG，由平行线的性质结合∠E=∠3可得结论．
3.【解析】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（垂直定义）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴AC∥EF．（
同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
故答案为：垂直定义；AC∥EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
本节课重点归纳：
（1）利用平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理，及求一些角度的度数
（2）正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结
（3）平行线的性质和判定
1.下列语句不是命题的是(????
)．
A．两条直线相交只有一个交点????
B．两点之间，线段最短
C．熊猫没有翅膀．?????????
D．连接A、B两点
2.
下列说法中，正确的说法有(???
)．
①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不变；④平移三角形ABC得到三角形，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤平移三角形ABC得到三角形，三角形的面积不变．
A．①②③④???
B．①②③④⑤???
C．①②③⑤????
D．①③④⑤??
3.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（??
）
A．∠α+∠β+∠γ=180°
B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180°
D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
答案与解析
1.【答案】
D．?
【解析】
判断一件事情的语句叫做命题，而四个选项，只有选项D不是判断性的语句，因此选项D不是命题.
2.【答案】
D.
【解析】
因为平移不改变图形的形状和大小，据此可知，平移三角形ABC得到三角形后，其对应线段、周长和面积均保持不变，因此①③⑤都正确．而图形平移后，其对应线段要么平行，要么在一条直线上，因此②错误．因为图形的平移是图形上所有点的平移，所以平移三角形ABC得到三角形，对应边中点也一道平移了相同的距离，④正确．本题答案应选D．
3.【答案】D.
【解析】
作EF∥AB,
由ABCD得EFCD,
再根据平行线的性质得∠α+∠AEF=180°,∠y=∠DEF,而∠AEF+∠DEF=∠β,
所以∠α+∠B=180°+∠y
1.我们知道“对于实数m，n，k，若m=n，
n=k，则m=k”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：
①a，b，c是直线，若a//b，
b//c，则a//c.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余.
其中正确的命题是
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
2.下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（
）
A．①②③
B．①③
C．②③
D．①
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE＝72°，则∠AOF的度数为（
）
A．72°
B．60°
C．54°
D．36°
答案与解析
1.【答案】C
2.【解析】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断AB∥CD．
②由“同位角角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断BF∥EC．
③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断AB∥CD．
故选：B．
3.
【答案】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝72°，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×72°＝144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣144°＝36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
1.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D．”
如图2，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，依据基本事实
，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实
矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．
请补充上述证明过程中的两条基本事实．
2.如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝
（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
3.完成下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB
，EF平分∠DEB．求证：
CD∥EF．
证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB
=∠
（
）．
∵CD平分∠ACE，EF平分∠DEB，
∴∠1=∠
,
∠2=∠
．
∴∠
=∠
．
∴CD∥EF（
）．
1.【解析】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，依据基本事实
同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．
故答案为：同位角相等，两直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
2.
【解析】（1）如图：
（2）①∵∠A＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，
故答案为45°﹣α；
②∠DFC＝2∠BDF，
证明：∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC．
∠ABD＝∠BDF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠DFC＝2∠BDF．
3.【解析】∠ACB=∠DEB，两直线平行，同位角相等
∠1=∠ACB，∠2=∠DEB
∠1=∠2，同位角相等,
两直线平行
第02讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平行线定义
考点2
考点3
考点2
知识点2
平行推论
考点4
知识点3
平行线判定
知识点4
平行线性质
考点6
知识点5
命题判断
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
