平移
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解平移的含义
?
掌握平移的性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平移的含义；2.平移的性质；3.平移的变换.
学习目标
1.通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形的对应关系；2.认识生活中平移的实例；3.能够利用生活中的道具做图案的平移设计.
学习重点
探索并理解平移的性质
学习难点
对平移的认识以及性质的探索
【知识导图】
出示如图的图案并引导学生进行认真的观察：
分析出这些美丽的图案是由若干个相同的图案组合而成的．
(1)它们有什么共同的特点？
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
平移的定义
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状大小如图的雪人？
学生描图，描出三个雪人图．
观察、思考：
(1)学生在自己所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点：鼻尖A与A′、帽顶B与B′、纽扣C与C′，连接这些对应点．
(2)观察这些线段，它们的位置关系如何？数量关系呢？
学生用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行，用刻度尺度量三条线段是否相等．
我们发现：
AA′∥BB′∥CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(3)学生再作出连接一些其他对应点的线段，验证前面的发现是否正确．
归纳：
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一个点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应的，连接各组对应点的线段平行且相等．
平移的定义：
定义：一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移．
图形的平移
展示右图的图案，并出示相关性的问题：
右图是由两个正三角形拼成的，试分析△ABC经过怎样的变化得到△DCE？点A，B，C的对应点分别是什么？连接对应点的线段有什么特性？
图形的平移必须具备两个条件：一是平移的方向；二是平移的距离.
注意：图形的平移只是改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小.
图形平移的方向不局限于水平方向.
皮影戏是中国民间古老的传统艺术，是一种用兽皮或纸板做成人物剪影来表演故事的民间戏剧，老北京人都叫它“驴皮影”，
2011年中国皮影戏入选人类非物质文化遗产代表作名录.
图1是孙悟空的皮影造型，在下面右侧的四个图中，能由图1经过平移得到的是（
）
如图,△ABC面积为2,将△ABC沿AC方向平移至△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB面积为(
)
A．6???
?B．8????
C．10???
D．12
如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是
A．4
B．5
C．6
D．7
一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，
∠E=60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D
顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数
是
．
1.在平面直角坐标系中，若将原图上的每个点的横坐标都加上3,纵坐标保持不变，则所得图形的位置与原图形相比（
）
A.向上平移3个单位
B.向下平移3个单位
C.向右平移3个单位
D.向左平移3个单位
2.
下列说法中，正确的说法有(???
)．
①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不变；④平移三角形ABC得到三角形，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤平移三角形ABC得到三角形，三角形的面积不变．
A．①②③④???
B．①②③④⑤???
C．①②③⑤????
D．①③④⑤??
3.
将图形平移，下列结论错误的是(
)
A.对应线段相等
B.对应角相等
C.对应点所连的线段互相平分
D.对应点所连的线段相等
1.下列说法正确的有(??
?)．
①
若线段，则线段可以看作是由线段平移得到的
②
若线段，则线段可看作是由线段平移得到的
③
若且，则线段平移后得到线段
④
平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化
A．4个????
B．3个????C．2个???
?D．1个
2.
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点.
（1）画出△ABC的AB边上的中线CD；
（2）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A
1
B
1
C
1
；
（3）图中AC与A
1
C
1
的关系是：_____________.
（4）图中△ABC的面积是_______________.
?
1.阅读下面材料：
老师给同学们布置了一个画图任务：
已知：如图，直线a及直线a外一点P．
求作：直线b，使得直线b经过点P，且b∥a．
下面是小立的画图过程．（工具：直尺、两个能完全重合的含角的三角板）
画法：如图，
①一个三角板的斜边与直线a重合；
②另一个三角板与第一个三角板拼在一起，使两个三角板的直角边完全重合；
③直尺沿第二个三角板的短直角边贴紧摆放；
④沿直尺向上推动第二个三角板，使三角板的斜边经过点P；
⑤沿第二个三角板的斜边画直线b.
所以直线b就是所求作的直线.
老师说小立画法正确.
请回答：小立的画图依据是
．
2.已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF。
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
．
通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等的性质．认识和欣赏平移在现实生活中的应用，能运用平移进行一定的图案设计．
1.在下列实例中，属于平移过程的有(??)?①时针运行过程；②电梯上升过程；③火车直线行驶过程；④地
球自转过程；⑤生产过程中传送带上的电视机的移动过程．?
A．1个??
B．2个?
?C．3个??
D．4个
2.
在平移过程中，对应线段(??)?
A．互相平行且相等
?
B．互相垂直且相等?
C．互相平行(或在同一条直线上)且相等?
D．不平行但相等?
3.如图所示，平移△ABC可得到△DEF，如果∠A＝50°，∠C＝60°，那么∠E＝________度，∠EDF＝________度，∠F＝________度，∠DOB＝________度．
1.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出该命题的题设和结论．
（1）同角的补角相等；
（2）在同一个平面内不平行的两条直线必定相交．?
2.
如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，求∠AOE的度数．
3.如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（??）?
A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位?
C.先向左平移5个单位，再向上平移2个单位?
D．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位?
1.
如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
2.
如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3……
第n次操作，分别作∠ABEn－1和∠DCEn－1的平分线，交点为En.
(1)如图①，求证：∠BEC＝∠B＋∠C；
(2)如图②，求证：∠BE2C＝∠BEC；
(3)猜想：若∠En＝b°，求∠BEC的度数．
第03讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平移的定义
考点2
考点2
知识点2图形的平移
三、例题精析
四、例题精析
例题1
图1
A
B
C
D
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高平移
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平移的含义；2.平移的性质；3.平移的变换.
教学目标
1.通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形的对应关系；2.认识生活中平移的实例；3.能够利用生活中的道具做图案的平移设计.
教学重点
探索并理解平移的性质
教学难点
对平移的认识以及性质的探索
【知识导图】
出示如图的图案并引导学生进行认真的观察：
分析出这些美丽的图案是由若干个相同的图案组合而成的．
(1)它们有什么共同的特点？
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
平移的定义
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状大小如图的雪人？
学生描图，描出三个雪人图．
观察、思考：
(1)学生在自己所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点：鼻尖A与A′、帽顶B与B′、纽扣C与C′，连接这些对应点．
(2)观察这些线段，它们的位置关系如何？数量关系呢？
学生用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行，用刻度尺度量三条线段是否相等．
我们发现：
AA′∥BB′∥CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(3)学生再作出连接一些其他对应点的线段，验证前面的发现是否正确．
归纳：
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一个点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应的，连接各组对应点的线段平行且相等．
平移的定义：
定义：一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移．
图形的平移
展示右图的图案，并出示相关性的问题：
右图是由两个正三角形拼成的，试分析△ABC经过怎样的变化得到△DCE？点A，B，C的对应点分别是什么？连接对应点的线段有什么特性？
图形的平移必须具备两个条件：一是平移的方向；二是平移的距离.
注意：图形的平移只是改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小.
图形平移的方向不局限于水平方向.
皮影戏是中国民间古老的传统艺术，是一种用兽皮或纸板做成人物剪影来表演故事的民间戏剧，老北京人都叫它“驴皮影”，
2011年中国皮影戏入选人类非物质文化遗产代表作名录.
图1是孙悟空的皮影造型，在下面右侧的四个图中，能由图1经过平移得到的是（
）
【答案】D
【解析】平移改变的是位置，大小形状都不改变.
如图,△ABC面积为2,将△ABC沿AC方向平移至△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB面积为(
)
A．6???
?B．8????
C．10???
D．12
【答案】C.
【解析】过点作AB的平行线，过点D作EF的平行线，这样就形成了5个一样的小三角形,所以四边形的面积就为10.
如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】扫过面积为两个平行四边形.
一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，
∠E=60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D
顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数
是
．
【解析】45?
两直线平行，内错角相等.
1.在平面直角坐标系中，若将原图上的每个点的横坐标都加上3,纵坐标保持不变，则所得图形的位置与原图形相比（
）
A.向上平移3个单位
B.向下平移3个单位
C.向右平移3个单位
D.向左平移3个单位
2.
下列说法中，正确的说法有(???
)．
①平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定相等；②平移三角形ABC得到三角形，对应线段一定平行；③平移三角形ABC得到三角形，三角形的周长保持不变；④平移三角形ABC得到三角形，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤平移三角形ABC得到三角形，三角形的面积不变．
A．①②③④???
B．①②③④⑤???
C．①②③⑤????
D．①③④⑤??
3.
将图形平移，下列结论错误的是(
)
A.对应线段相等
B.对应角相等
C.对应点所连的线段互相平分
D.对应点所连的线段相等
答案与解析
1.【答案】C.
2.【答案】D.
【解析】
因为平移不改变图形的形状和大小，据此可知，平移三角形ABC得到三角形后，其对应线段、周长和面积均保持不变，因此①③⑤都正确．而图形平移后，其对应线段要么平行，要么在一条直线上，因此②错误．因为图形的平移是图形上所有点的平移，所以平移三角形ABC得到三角形，对应边中点也一道平移了相同的距离，④正确．本题答案应选D．
3.【答案】
C.
1.下列说法正确的有(??
?)．
①
若线段，则线段可以看作是由线段平移得到的
②
若线段，则线段可看作是由线段平移得到的
③
若且，则线段平移后得到线段
④
平移得到的图形大小不变，而形状和位置可能变化
A．4个????
B．3个????C．2个???
?D．1个
2.
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点.
（1）画出△ABC的AB边上的中线CD；
（2）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A
1
B
1
C
1
；
（3）图中AC与A
1
C
1
的关系是：_____________.
（4）图中△ABC的面积是_______________.
?
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】本题考查平移的概念及其与平行线的关系．图形的平移涉及平移的方向与距离两个要素．据此可以判断：①的说法不正确，因为不知道线段，是否平行；②的说法也不正确，因为线段，平行，但长度未必相等；③的说法正确，因为线段，既平行，且长度相等；④的说法不正确，因为平移前后的两个图形，形状与大小不变．所以答案应为D．
2.【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）平行且相等；（4）8.
【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）根据平移的性质得出，AC与A
1
C
1
的关系是：平行且相等；
（4）S
△ABC
=
-
-2-
=8.
1.阅读下面材料：
老师给同学们布置了一个画图任务：
已知：如图，直线a及直线a外一点P．
求作：直线b，使得直线b经过点P，且b∥a．
下面是小立的画图过程．（工具：直尺、两个能完全重合的含角的三角板）
画法：如图，
①一个三角板的斜边与直线a重合；
②另一个三角板与第一个三角板拼在一起，使两个三角板的直角边完全重合；
③直尺沿第二个三角板的短直角边贴紧摆放；
④沿直尺向上推动第二个三角板，使三角板的斜边经过点P；
⑤沿第二个三角板的斜边画直线b.
所以直线b就是所求作的直线.
老师说小立画法正确.
请回答：小立的画图依据是
．
2.已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF。
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
答案与解析
1.【解析】同旁内角互补，两直线平行.
2.【解析】
证明：∵
EG⊥BC，AD⊥BC，
∴
AD∥EG，
∴
∠3=∠1，∠E=∠2；
∵
∠3=∠E，
∴
∠1=∠2，
∴
AD平分∠BAC．
【解析】
（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-100°=80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=
∠AOC=40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=
∠AOC=20°，
∴∠OEC=180°-∠C-∠COE=180°-100°-20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．
通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等的性质．认识和欣赏平移在现实生活中的应用，能运用平移进行一定的图案设计．
1.在下列实例中，属于平移过程的有(??)?①时针运行过程；②电梯上升过程；③火车直线行驶过程；④地
球自转过程；⑤生产过程中传送带上的电视机的移动过程．?
A．1个??
B．2个?
?C．3个??
D．4个
2.
在平移过程中，对应线段(??)?
A．互相平行且相等
?
B．互相垂直且相等?
C．互相平行(或在同一条直线上)且相等?
D．不平行但相等?
3.如图所示，平移△ABC可得到△DEF，如果∠A＝50°，∠C＝60°，那么∠E＝________度，∠EDF＝________度，∠F＝________度，∠DOB＝________度．
答案与解析
1.【答案】C
【解析】平移过程中位置发生变化，形状
大小都不变
2.【答案】C
3.【答案】70
50
60
60
1.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出该命题的题设和结论．
（1）同角的补角相等；
（2）在同一个平面内不平行的两条直线必定相交．?
2.
如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，求∠AOE的度数．
3.如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（??）?
A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位?
C.先向左平移5个单位，再向上平移2个单位?
D．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位?
答案与解析
1.【答案】（1）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等．
（2）在同一个平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线一定相交．题设：在同一个平面内，两条直线不平行，结论：这两条直线一定相交．
【解析】
解这类题的关键是，善于分辨清命题的条件和结论，会用“如果……，那么……”的形式表示命题．
2.【答案】
解：∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＝28°，∴∠AOD＝152°.(3分)∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD＝76°.
3.【答案】B
1.
如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
2.
如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3……
第n次操作，分别作∠ABEn－1和∠DCEn－1的平分线，交点为En.
(1)如图①，求证：∠BEC＝∠B＋∠C；
(2)如图②，求证：∠BE2C＝∠BEC；
(3)猜想：若∠En＝b°，求∠BEC的度数．
答案与解析
1.【答案】解：∵
EF∥AD，AD∥BC，∴
EF∥AD∥BC，∴
∠DAC＋∠ACB＝180°.
∵∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∴
∠BCF＝180°－∠DAC－∠ACF＝180°－120°－20°＝40°.∵
CE平分∠BCF，∴∠FCE＝∠BCE＝20°.
∵
EF∥BC，∴
∠FEC＝∠BCE＝20°.
2.【答案】(1)
证明：如图，过E作EF∥AB.
∵AB∥CD，∴
AB∥EF∥CD，∴
∠B＝∠1，∠C＝∠2.
∵∠BEC＝∠1＋∠2，∴
∠BEC＝∠B＋∠C.
(2)
证明：∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴
由(1)可得∠BE1C＝∠ABE1＋∠DCE1＝∠ABE＋∠DCE＝∠BEC.
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴
由(1)可得∠BE2C＝∠ABE2＋∠DCE2＝∠ABE1＋∠DCE1＝∠BE1C＝∠BEC.
(3)
解：∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3＋∠DCE3＝∠ABE2＋∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC……以此类推，∠En＝∠BEC，∴当∠En＝b°时，∠BEC＝2nb°.
第03讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平移的定义
考点2
考点2
知识点2图形的平移
三、例题精析
四、例题精析
例题1
图1
A
B
C
D
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
