平方根及算术平方根
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解平方根、算术平方根的含义
?
会求解一个数的平方根
?
区别平方根与算术平方根
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平方根的定义及表示方法；2.算术平方根的定义及表示方法；3.开方的意义.
学习目标
1.掌握数的开方意义，理解平方根和算术平方根的定义；2.理解平方根和算术平方根的意义和表示方法；3.能够熟练计算平方根和算术平方根.
学习重点
平方根和算术平方根的表示方法
学习难点
正确理解平方根和算术平方根的意义
【知识导图】
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25
dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
师：∵
＝25，
∴
这个正方形画框的边长应取5
dm.
平方根
1.
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：.因此：
2.
当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3.
当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根.
算术平方根
1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数.
特别规定：0的算术平方根仍然为0.
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：.
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根.
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：.
开方与平方
开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，其中那个数叫做被开方数.
平方与开平方有何联系？
平方与开平方互为逆运算．
4的平方根是（
）
A.
4
B.
±4
C.
±2
D.2
求下列各数的算术平方根：
(1)100；
(2)；
(3)0.0001.
根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
A．
B．
235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19
小丽想用一块面积为400
cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300
cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
1.若x是64的算术平方根，则x=(
)
A.8
B.-8
C.64
D.-64
2.的算术平方根是(
)
A.±4
B.4
C.±2
D.2
3.
下列各数没有算术平方根的是(
)
A.0
B.-1
C.10
D.102
1.
已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值.
2.
已知求的算术平方根
3.
已知，求
的平方根．
1.请在方格中，画出一个边长为的正方形.
（2分）
（注意：直尺可用来连线，不能度量）
2.
求下列各数的算术平方根.
(1)0.062
5；
(2)(-3)2；
(3)；
(4)108.
3.
一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（
）
A．x+1
B．x2+1
C．+1
D．
掌握平方根的定义，会求平方根,
掌握数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法,
能区别平方根和算术平方根.
1.
9的算术平方根是（
）
A．-3
B．3
C．±3
D．81
2.2的算术平方根是(
)
A.±
B.
C.±4
D.4
3.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,记为±=10；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1.求解:
（2x-1）2-169=0；
2.
某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位).
1.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（
）
A．-3
B．1
C．-3或1
D．-1
2.已知x，y是实数，且+=0，则xy的值是（
）
A．4
B．-4
C．
D．-
3.国际比赛的足球场长在100
m到110
m之间,宽在64
m到75
m之间,为了迎接某次奥运会,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5倍,面积是7
560
m2,请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由.
第04讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平方根
考点2
知识点2算术平方根
知识点3
开方与平方
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高第二章
实数
第04讲
平方根及算数平方根
平方根及算术平方根
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.平方根的定义及表示方法；2.算术平方根的定义及表示方法；3.开方的意义.
教学目标
1.掌握数的开方意义，理解平方根和算术平方根的定义；2.理解平方根和算术平方根的意义和表示方法；3.能够熟练计算平方根和算术平方根.
教学重点
平方根和算术平方根的表示方法
教学难点
正确理解平方根和算术平方根的意义
【知识导图】
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25
dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
师：∵
＝25，
∴
这个正方形画框的边长应取5
dm.
平方根
1.
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：.因此：
2.
当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3.
当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根.
算术平方根
1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数.
特别规定：0的算术平方根仍然为0.
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：.
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根.
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：.
开方与平方
开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，其中那个数叫做被开方数.
平方与开平方有何联系？
平方与开平方互为逆运算．
4的平方根是（
）
A.
4
B.
±4
C.
±2
D.2
【答案】C
【解析】±2
的平方等于4.
求下列各数的算术平方根：
(1)100；
(2)；
(3)0.0001.
【答案】
解：(1)∵102＝100，
∴100的算术平方根是10.
即＝10.
(2)∵()2＝，
∴的算术平方根是，即＝.
(3)∵0.012＝0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即＝0.01.
【解析】根据算术平方根的定义解答．
根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
A．
B．
235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19
【答案】C
【解析】被开方数扩大100倍，对应的算术平方根扩大10倍，根据表格能够清楚得出结论.
小丽想用一块面积为400
cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300
cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】
解：设长方形纸片的长为3x
cm，宽为2x
cm.
根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300，
6x2＝300，
x2＝50，
x＝.
因此长方形纸片的长为3
cm.
因为50＞49，所以＞7.
由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21
cm.
因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20
cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【解析】
根据正方形的面积公式,求出边长与长方形纸片的长比较.
1.若x是64的算术平方根，则x=(
)
A.8
B.-8
C.64
D.-64
2.的算术平方根是(
)
A.±4
B.4
C.±2
D.2
3.
下列各数没有算术平方根的是(
)
A.0
B.-1
C.10
D.102
答案与解析
1.【答案】
A.
【解析】64的平方根是,算术平方根是8.
故答案为:A
2.【答案】
D.
【解析】
因为,所以题目相当于问4的算术平方根.不能直接进行计算它的算术平方根.
3.【答案】
B.
【解析】
负数没有平方根，也没有算术平方根.
1.
已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值.
2.
已知求的算术平方根
3.
已知，求
的平方根．
答案与解析
1.【解析】首先根据题意得出关于a和b的方程，然后进行求解.
根据题意得：
解得：a=5
b=2
∴a+2b=9
2.【解析】根据非负数的性质求出x和y的值，然后计算算术平方根.
根据题意得
解得：
∴=25
∴==5
3.【解析】由二次根式的意义知被开方数大于等于0，可求得x与y，再代入求值．
由题意可知：x=3
y=8
则=3×3＋2×8=25
所以的平方根为±5
1.请在方格中，画出一个边长为的正方形.
（2分）
（注意：直尺可用来连线，不能度量）
2.
求下列各数的算术平方根.
(1)0.062
5；
(2)(-3)2；
(3)；
(4)108.
3.
一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（
）
A．x+1
B．x2+1
C．+1
D．
答案与解析
1.如下图
2.【答案】
(1)0.25；
(2)3；
(3)；
(4)104.
【解析】根据算术平方根的定义求解即可.
3.【答案】D.
【解析】这个自然数是x2，所以它后面的一个数是x2+1，
则x2+1的算术平方根是．
掌握平方根的定义，会求平方根,
掌握数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法,
能区别平方根和算术平方根.
1.
9的算术平方根是（
）
A．-3
B．3
C．±3
D．81
2.2的算术平方根是(
)
A.±
B.
C.±4
D.4
3.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,记为±=10；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案与解析
1.【答案】B.
【解析】根据算术平方根的定义解答.
2.【答案】B.
【解析】根据算术平方根的定义解答.
3.【答案】A.
【解析】第一个错,
0不是正数,
第二个写法错误,
第四个错误,因为a可以为负数，但它的算术平方根就为它的相反数.
1.求解:
（2x-1）2-169=0；
2.
某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位).
答案与解析
1.【答案】.
【分析】
2.【答案】设这个正方形的边长为x米，于是x2=10.
∵x>0，∴x=.
∵32=9，42=16,
∴3<<4.
又∵3.12=9.61，3.22=10.24,
∴3.1<<3.2.
又∵3.152=9.922
5，
∴>3.15.
∴≈3.2.
答:这个正方形的边长是米，约为3.2米.
1.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（
）
A．-3
B．1
C．-3或1
D．-1
2.已知x，y是实数，且+=0，则xy的值是（
）
A．4
B．-4
C．
D．-
3.国际比赛的足球场长在100
m到110
m之间,宽在64
m到75
m之间,为了迎接某次奥运会,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5倍,面积是7
560
m2,请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由.
答案与解析
1.【答案】B.
【解析】2m-4与3m-1是同一个数的平方根,
所以它们两个互为相反数,
解出m=1.
2.【答案】B.
【解析】3x+4=0且y-3=0,
解出x和y.
3.【答案】这个足球场能用作国际比赛.
设足球场的宽为x
m,则足球场的长为1.5x
m,由题意,得
1.5x2=7
560.
∴x2=5
040.
∵x＞0,∴x=.
又∵702=4
900,712=5
041,
∴70＜＜71.
∴70＜x＜71.
∴105＜1.5x＜106.5.
∴符合要求.
∴这个足球场能用作国际比赛.
第04讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
平方根
考点2
知识点2算术平方根
知识点3
开方与平方
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
