立方根
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解立方根的定义
?
会求解一个数的立方根
?
能区别立方根和平方根
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.立方根的定义；2.立方根的表示；3.立方根的意义.
学习目标
1.掌握立方根的定义及表示方法；2.能够熟练地区分平方根、算术平方根和立方根.
学习重点
立方根的表示及意义
学习难点
正确区分平方根、算术平方根和立方根
【知识导图】
要制作一种容积为27
m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
师：设这种包装箱的边长为x
m，则
x3＝27
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
∵33
＝27，
∴x＝3.
即这种包装箱的边长为3
m.
立方根
1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根.记做：，读作，3次根号a.
注意：这里的3表示的是开根的次数.
一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略.
2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根.
开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，据此我们可以求一个数的立方根．
立方根的特点：
1 正数的立方根是正数．
2 负数的立方根是负数．
3 0的立方根是0.
求下列各式的值：
(1)；
(2)－；
(3).
下列说法中正确的是（
）
A.-4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.的立方根是
D.-5的立方根是
若，则
.
已知第一个正方体纸盒的棱长为6
cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127
cm3,求第二个纸盒的棱长.
1.下列说法不正确的是（
）
A.-1的立方根是-1
B.-1的平方是1
C.-1的平方根是-1
D.1的平方根是±1
2.若一个数的立方根是-3,
则该数为(
)
A.-
B.-27
C.±
D.±27
3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的立方根是；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1.立方根等于本身的数为__________.
2.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（
）
A.-13
B.-13
C.2
D.-2
3.若m<0，则m的立方根是（
）
A.
B.
C.±
D.
1.已知,,则的值等于(
)
A．485.8
B．15360
C．0.01536
D．0.04858
2.
若有意义，则的值是(
)
A.0
B.
C.
D.
3.若与(b-27)2互为相反数，求-的立方根.
掌握立方根的定义，会求立方根.
能区别平方根和立方根.
理解立方根的性质.
1.下列说法正确的是(
)
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与互为相反数
2.计算的正确结果是(
)
A.7
B.-7
C.±7
D.无意义
3.求下列各数的立方根：
(1)0.216；
(2)0；
(3)-5.
1.若x<0，则=______,=______.
2.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”
如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：
(1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？
(2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？
1.如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
2.请先观察下列等式：
，
=3，
=4，
…
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.
第05讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
立方根的定义
考点2
知识点2
开立方
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高立方根
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.立方根的定义；2.立方根的表示；3.立方根的意义.
教学目标
1.掌握立方根的定义及表示方法；2.能够熟练地区分平方根、算术平方根和立方根.
教学重点
立方根的表示及意义
教学难点
正确区分平方根、算术平方根和立方根
【知识导图】
要制作一种容积为27
m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
师：设这种包装箱的边长为x
m，则
x3＝27
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
∵33
＝27，
∴x＝3.
即这种包装箱的边长为3
m.
立方根
1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根.记做：，读作，3次根号a.
注意：这里的3表示的是开根的次数.
一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略.
2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根.
开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，据此我们可以求一个数的立方根．
立方根的特点：
1 正数的立方根是正数．
2 负数的立方根是负数．
3 0的立方根是0.
求下列各式的值：
(1)；
(2)－；
(3).
【答案】
解：(1)＝4；
(2)－＝－；
(3)＝－.
【解析】根据立方根的定义解答．
下列说法中正确的是（
）
A.-4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.的立方根是
D.-5的立方根是
【答案】D.
【解析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B两个选项;由于的算术平方根是,故C选项也是错误的.
若，则
.
【答案】0.05
【解析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.
已知第一个正方体纸盒的棱长为6
cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127
cm3,求第二个纸盒的棱长.
【答案】
设第二个纸盒的棱长为,则可得,可得=7.
【解析】
根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解.
1.下列说法不正确的是（
）
A.-1的立方根是-1
B.-1的平方是1
C.-1的平方根是-1
D.1的平方根是±1
2.若一个数的立方根是-3,
则该数为(
)
A.-
B.-27
C.±
D.±27
3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的立方根是；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案与解析
1.【答案】C.
【解析】负数没有平方根,所以本题答案是C.
2.【答案】B.
【解析】.
3.【答案】B.
【解析】①错,一个数的立方根只有一个,
④还有0,它既不是正数,也不是负数．
1.立方根等于本身的数为__________.
2.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（
）
A.-13
B.-13
C.2
D.-2
3.若m<0，则m的立方根是（
）
A.
B.
C.±
D.
答案与解析
1.【答案】0,1或-1.
【解析】根据一个数的立方是它本身解答.
2.【答案】D.
【解析】由题意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.
3.【答案】A.
【解析】负数的立方根是负数,任意一个数a的立方根都表示成,故本题答案是A.
1.已知,,则的值等于(
)
A．485.8
B．15360
C．0.01536
D．0.04858
2.
若有意义，则的值是(
)
A.0
B.
C.
D.
3.若与(b-27)2互为相反数，求-的立方根.
答案与解析
1.【答案】D．
【解析】
开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.
2.【答案】B.
【解析】由题意可得=0和,得x=,故=.
3.【答案】由题意知a=-8，b=27，
所以-=-5.
故-的立方根是.
掌握立方根的定义，会求立方根.
能区别平方根和立方根.
理解立方根的性质.
1.下列说法正确的是(
)
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与互为相反数
2.计算的正确结果是(
)
A.7
B.-7
C.±7
D.无意义
3.求下列各数的立方根：
(1)0.216；
(2)0；
(3)-5.
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】一个数的立方根只有一个,0的平方根和立方根都是它本身.
2.【答案】B.
【解析】根据立方根的定义解答．
3.【答案】(1)∵0.63=0.216，
∴0.216的立方根是0.6，即=0.6；
(2)∵03=0，
∴
0的立方根是0，即=0；
(3)-5的立方根是.
【解析】根据立方根的性质解答．
1.若x<0，则=______,=______.
2.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”
如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：
(1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？
(2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？
答案与解析
1.【答案】,．
【分析】的算术平方根有两个,分别是,,其中正的平方根是它的算术平方根,故其算术平方根是;
根据立方根的概念可以判断.
2.【答案】(1)8倍；
(2)倍.
【分析】根据正方体体积的计算公式,边长变为2倍,体积变为原来的8倍
1.如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
2.请先观察下列等式：
，
=3，
=4，
…
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.
答案与解析
1.【答案】解:因为A点到MN的距离是≈93.3米小于噪声的影响范围100米.
有影响，学校受影响的时间为4秒.
2.【答案】(1)=5,
=6；
(2)=n(n≠1,且n为整数).
第05讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
立方根的定义
考点2
知识点2
开立方
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
