实数
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解为无理数的意义
?
会对实数分类
?
明白实数与数轴上的点一一对应
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.有理数和无理数的区别；2.实数的估算及混合运算；3.实数大小的比较.
学习目标
1.能够灵活区别有理数和无理数；2.了解无理数的意义，同时能够在数轴上正确表示实数；3.熟练实数之间的运算.
学习重点
无理数和有理数的意义
学习难点
实数的综合应用
【知识导图】
请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，－，
，
，
，
3＝3.0 －＝－0.6 ＝5.875
＝0.81 ＝0.12 ＝0.5
这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．
无理数
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件.
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010
010
001
000
01…（两个1之间依次多1个0）等.
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2.
有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.
实数
1.
有理数与无理数统称为实数.
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.
2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=
3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于
负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小.（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小.
4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.
运算法则和运算顺序与有理数的一致.
实数的分类
实数的分类：
按照定义分类如下：
实数
按照正负分类如下：
实数
若a＝，把实数a在数轴上对应的点的位置表示出来，可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（1）
的平方是64，所以64的平方根是
.
（2）
的平方根是它本身.
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
下列说法中：
①都是27的立方根，
②，
③的立方根是2，
④.
其中正确的有
（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
数
的大小关系是
(
)
A.
B.
C.
D.
1.写出一个大于﹣3的负无理数
．
2.
3.当x
时，有意义.
4.一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
1.
若，则b等于（
）
A.
1000000
B.
1000
C.
10
D.
10000
2.
若，且，则：=
.
3.
下列语句正确是（??
）
A．无限小数是无理数
B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数
D．两个无理数的和还是无理数
1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：
-，
，0
，
2.如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b?的值
3.你能找出规律吗?
（1）计算：
,
.
,
.
（2）请按找到的规律计算：①；
②
（3）已知：，则=
（用含的式子表示）。
本章中，我们通过类比有理数及运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用.
实数与数轴上的点一一对应的.
因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助.
1.
下列说法不正确的是(??
)
A．8的立方根是2
B．－8的立方根是－2
C．
0的立方根是0
D．125的立方根是±5
2.所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（??
）
A．整数
B．有理数
C．无理数
D．实数
3.
若2m-1没有平方根，则m的取值范围是________.
1.
估计的值在(?
)
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
2.
化简式子
结果正确的是（????
）
A．±4
B．4
C．-4
D．±2
3.
一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值．
1.
如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．
B．
C．
D．2.5
2.
已知x+12平方根是±，2x+y﹣6的立方根是2，求3xy的算术平方根．
3.
已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是4，求a+b的平方根．
第06讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
无理数的认识
考点2
知识点2
实数
知识点3
实数的分类
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高实数
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.有理数和无理数的区别；2.实数的估算及混合运算；3.实数大小的比较.
教学目标
1.能够灵活区别有理数和无理数；2.了解无理数的意义，同时能够在数轴上正确表示实数；3.熟练实数之间的运算.
教学重点
无理数和有理数的意义
教学难点
实数的综合应用
【知识导图】
【教学建议】
有理数和无理数统称为实数，即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员．学习时应注意分清有理数和无理数是两类完全不同的数，就是说如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数；反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数．
请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，－，
，
，
，
3＝3.0 －＝－0.6 ＝5.875
＝0.81 ＝0.12 ＝0.5
这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．
无理数
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件.
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010
010
001
000
01…（两个1之间依次多1个0）等.
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2.
有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.
实数
1.
有理数与无理数统称为实数.
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.
2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=
3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于
负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小.（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小.
4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.
运算法则和运算顺序与有理数的一致.
实数的分类
实数的分类：
按照定义分类如下：
实数
按照正负分类如下：
实数
若a＝，把实数a在数轴上对应的点的位置表示出来，可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C.
【解析】解：∵6.25＜8＜9，
∴2.5＜＜3，
（1）
的平方是64，所以64的平方根是
.
（2）
的平方根是它本身.
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
【答案】
(1)
,.
（2）1和0
.
（3）m=2,4
【解析】
利用平方根的定义解答问题.
下列说法中：
①都是27的立方根，
②，
③的立方根是2，
④.
其中正确的有
（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【答案】B.
【解析】正数的立方根是正数，27的立方根是3，所以①错误；
一个数的立方后再开立方结果还是这个数，故
②正确；=8,8的立方根是2，故③正确.
正数的立方根是正数，故④不正确.
数
的大小关系是
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】
1.写出一个大于﹣3的负无理数
．
2.
3.当x
时，有意义.
4.一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
答案与解析
1.【解析】-
【解析】无理数是无限不循环小数，有无数个
2.【解析】先将各式化简求值，然后按照加减法法则计算即可．
原式=
=
=
3.
【解析】16；.
4.
【解析】.
1.
若，则b等于（
）
A.
1000000
B.
1000
C.
10
D.
10000
2.
若，且，则：=
.
3.
下列语句正确是（??
）
A．无限小数是无理数
B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数
D．两个无理数的和还是无理数
答案与解析
1.【答案】B.
【解析】
被开方数扩大倍，开方后结果扩大倍；根据开方与乘法互逆运算可得.
2.【答案】
-7.
【解析】
又，则a-b
=
-7.
3.【答案】B.
【解析】
解:
A.无限不循环小数是无理数,
故A不符合题意;B.无理数是无限小数,
符合题意.
C.实数分为正实数、负实数和0,
故C不符合题意
D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数,
故D不符合题意.
故答案为:B.
1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：
-，
，0
，
2.如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b?的值
3.你能找出规律吗?
（1）计算：
,
.
,
.
（2）请按找到的规律计算：①；
②
（3）已知：，则=
（用含的式子表示）。
1.【解析】，-<0<
<
先将化简成2，然后比较大小，最后在数轴上表示．
因为=2，所以-<0<
<，数轴上表示如图：
2.【解析】
3.【解析】（1）6,6,20,20
（2）10,4
（3）
（1）利用二次根式的性质，依次计算即可；（2）利用规律计算；（3）将化成符合规律的形式，然后利用规律次计算.
（1）2×3=6
,
6
.
4×5=20
,
20
.
（2）请按找到的规律计算：①=；
②
=
（3）=.
本章中，我们通过类比有理数及运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用.
实数与数轴上的点一一对应的.
因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助.
1.
下列说法不正确的是(??
)
A．8的立方根是2
B．－8的立方根是－2
C．
0的立方根是0
D．125的立方根是±5
2.所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（??
）
A．整数
B．有理数
C．无理数
D．实数
3.
若2m-1没有平方根，则m的取值范围是________.
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】
125的立方根是5,D选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.
2.【答案】D.
【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.
3.【答案】
【解析】
解:
负数没有平方根.
,
.
故答案为:.
1.
估计的值在(?
)
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
2.
化简式子
结果正确的是（????
）
A．±4
B．4
C．-4
D．±2
3.
一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值．
答案与解析
1.【答案】C．
【解析】因为6的平方是36,
7的平方是49.而38在36和49
的中间，所以的值在6和7之间.
2.【答案】B.
【解析】应先算
,
再将求16的算数平方根即可.
3.【答案】
解:
由题意得3a-4+1-6a=0,
解得a=-1
则3a-4=-7,
.
答:a的值是-1,x的值是49.
1.
如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．
B．
C．
D．2.5
2.
已知x+12平方根是±，2x+y﹣6的立方根是2，求3xy的算术平方根．
3.
已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是4，求a+b的平方根．
答案与解析
1.【答案】C．
【解析】解答：2＜＜2.5＜，2与
离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．
2.【答案】
解:
由题意可知:
X+12=13,2X+y-6=8,∴
x=1,y=1
3×y=3×1×12=36.
36的算术平方根为6.
3.【答案】
∵
2a﹣1的平方根是±3，
∴
2a﹣1=9，
∴
a=5，
∵
3a+b﹣1的立方根是4，
∴
3a+b﹣1=64，
∴
b=50，
∴
a+b=55，
∴
a+b的平方根是
．
第06讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
无理数的认识
考点2
知识点2
实数
知识点3
实数的分类
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思
