第10讲
消元—二元一次方程组
消元—二元一次方程组
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.代入消元法解二元一次方程组；2.加减消元法解二元一次方程组；
教学目标
1.用代入法、加减法解二元一次方程组；2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
教学重点
用代入法、加减法解二元一次方程组．
教学难点
如何理解消元.
【知识导图】
【教学建议】
作为数学的一个重要分支，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.在七年级上学期学生已经学习了一元一次方程，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展.同时也是今后学习一次函数、线性方程组及平面解析几何等知识的基础.
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进
n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
代入消元法：
这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．
加减消元法：
当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
代入消元法
用代入法解二元一次方程组的一般过程：
1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或者y）的代数式表示y）（或者x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
2、将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形的方程），消去y（或x），得到一个关于x（或者y）的一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求出x（或者y）的值；
4、把求出的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或者x）的值；
5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般过程
用加减法解二元一次方程组的一般过程：
1、根据等式的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式.
2、将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的解.
4、把这个未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值.
5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.
解二元一次方程组
1、当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元.
2、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边同乘这个倍数，把该未知数的系数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组.
3、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法。
解方程组
【答案】解法一：
由①得x＝，代入方程②，消去x.
得y＝
－1.
代入①或②，
得x＝1.
所以原方程组的解为
解法二：
①－②得：8y＝－8，
所以y＝
－1.
代入①或②，
得x＝1.
所以原方程组的解为
【解析】代入消元法或者加减消元法都可以.
在方程3x+4y-2=0中，若y分别取2，，0，-1，-4，求相应的x的值.
【答案】
将3x+4y-2=0变形，得x=.把已知的y值依次代入方程的右边，计算对应的x值，得
y
2
0
-1
-4
-2
2
6
【解析】将对应的y值分别代入方程中进行计算即可.
用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．
(1)消元方法：________．
(2)消元方法：________．
【答案】(1)
①×2－②消去y
(2)
①×2＋②×3消去n
【解析】
在用加减消元解方程时,消去的那个元最好是在两个方程中有着倍数关系,可以减少我们的计算量.
1.
下列方程组中是二元一次方程组的是( )．
A.
B.
C.
D.
2.
方程组
的解为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
对于二元一次方程组用加减法消去x，得到的方程是（ ）
A、2y=-2
B、2y=-36
C、12y=-36
D、12y=-2
答案与解析
1.【答案】
D.
【解析】解：A项中最高次数为2次，B项中有分式，C项中有3个未知数．
2.【答案】
D.
【解析】将各选择项中的每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①，又满足方程②的才是原方程组的解，否则就不是.只有D中未知数的值既满足方程①,又满足方程②，所以选D.
3.【答案】C.
【解析】两方程相减即可得到答案.
1.
二元一次方程3x＋2y＝11( )．
A．任何一对有理数都是它的解
B．只有一个解
C．只有两个解
D．有无数个解
2.
方程组的解是( )．
A.
B.
C.
D.
3．由方程组可得出x与y之间的关系是( )．
A．x＋y＝1
B．x＋y＝－1
C．x＋y＝7
D．x＋y＝－7
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】给一个x的值就有一个y的值与之相对应．
2.【答案】A.
【解析】本题可用加减法求出方程组的解．
3.【答案】C.
【解析】通过代入消去未知数m即可，或两个方程相加，也可消去m，得x与y的关系．
1.
方程组的解为则被遮盖的两个数分别为( )．
A．1,2
B．5,1
C．2,3
D．2,4
2．已知关于x，y的方程组的解为3x＋2y＝14的一个解，那么m的值为( )．
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3.
二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.
1.【答案】B.
【解析】把x＝2代入x＋y＝3中，求出y＝1，再把代入方程组中，得2x＋y＝5.
2.【答案】C.
【解析】先解关于x，y的方程组得再将其代入3x＋2y＝14中，得9m－2m＝14.
从而求出m＝2.
3.【答案】由题意可知x=y，
∴
4x+3y=7可化为4x+3x=7.
∴
x=1，y=1.
将x=1，y=1代入kx+(k-1)y=3中，得k+k-1=3，
∴
k=2.
本节课主要讲解利用代入法和加减消元法解二元一次方程组，本节课的重点内容就是解二元一次方程组的方法和技巧，注意选取正确的解题方法.
1.
下列哪组数是二元一次方程组的解(
)
A.
B.
C.
D.
2.解方程组：
3.
已知
是方程kx﹣y=3的解，那么k的值是（??
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】先解出x的值，再代入求出y的值.
2.【答案】解：①＋②×3，得10x＝50，
解得x＝5.
把x＝5代入②，
得2×5＋y＝13，解得y＝3.
于是，得方程组的解为
3.【答案】A.
【解析】将方程的解代入计算,
即可得到k值.
1.
已知关于x、y的方程组
的解是一对正数，求a的取值范围．
2.
解方程组：
3.
已知关于x
，
y的方程组
的解为
，求m，n的值．
答案与解析
1.
【答案】
解：
①+②得：2x=8a+8，
x=4a+4，
①﹣②得：2y=﹣2a+10，
y=﹣a+5，
∵关于x、y的方程组
的解是一对正数，
∴4a+4＞0且﹣a+5＞0，
解得：﹣1＜a＜5
2.
【答案】解：
，
①×4得，8x﹣4y=20③，
2.
②+③得，11x=22，
2.
解得x=2，
2.
把x=2代入①得，4﹣y=5，
2.
解得y=﹣1，
2.
所以，方程组的解是
．
3.【答案】将
代入方程组中，得
，
解得：
．
所以m=5，n=1．
1.
方程组的解x与y的和是2，则a＝______.
2.
甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2
013+(-b)2
014.
3.
已知方程组
与
的解相同，求a2+2ab+b2的值．
答案与解析
1.【答案】5．
【解析】
解关于x，y的二元一次方程组得由x与y的和是2得关于a的一元一次方程＋＝2，解得a＝5.
2.
【答案】
把
代入方程②中，得4×(-3)-b×(-1)=-2，解这个方程，得b=10.
把代入方程①中，得5a+5×4=15，
解这个方程，得a=-1.
所以a2
013+(-b)2
014=(-1)2
013+(-×10)2
014=0.
3.【答案】
解：由方程组
与
的解相同，
得
①，
②，
解①得
，
把
代入②得
，
解得
，
则a2+2ab+b2=（a+b）2=（﹣2+5）2=9
第
10讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
代入消元法
知识点2
加减消元法
知识点3
消元法的过程
知识点4
解方程组
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思消元—二元一次方程组
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解方程的消元思想
?
会用加减法、代入法解方程组
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.代入消元法解二元一次方程组；2.加减消元法解二元一次方程组；
学习目标
1.用代入法、加减法解二元一次方程组；2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
学习重点
用代入法、加减法解二元一次方程组．
学习难点
如何理解消元.
【知识导图】
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进
n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
代入消元法：
这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．
加减消元法：
当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
代入消元法
用代入法解二元一次方程组的一般过程：
1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或者y）的代数式表示y）（或者x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
2、将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形的方程），消去y（或x），得到一个关于x（或者y）的一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求出x（或者y）的值；
4、把求出的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或者x）的值；
5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般过程
用加减法解二元一次方程组的一般过程：
1、根据等式的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式.
2、将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的解.
4、把这个未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值.
5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.
解二元一次方程组
1、当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元.
2、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边同乘这个倍数，把该未知数的系数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组.
3、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法。
解方程组
在方程3x+4y-2=0中，若y分别取2，，0，-1，-4，求相应的x的值.
用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．
(1)消元方法：________．
(2)消元方法：________．
1.
下列方程组中是二元一次方程组的是( )．
A.
B.
C.
D.
2.
方程组
的解为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
对于二元一次方程组用加减法消去x，得到的方程是（ ）
A、2y=-2
B、2y=-36
C、12y=-36
D、12y=-2
1.
二元一次方程3x＋2y＝11( )．
A．任何一对有理数都是它的解
B．只有一个解
C．只有两个解
D．有无数个解
2.
方程组的解是( )．
A.
B.
C.
D.
3．由方程组可得出x与y之间的关系是( )．
A．x＋y＝1
B．x＋y＝－1
C．x＋y＝7
D．x＋y＝－7
1.
方程组的解为则被遮盖的两个数分别为( )．
A．1,2
B．5,1
C．2,3
D．2,4
2．已知关于x，y的方程组的解为3x＋2y＝14的一个解，那么m的值为( )．
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3.
二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.
本节课主要讲解利用代入法和加减消元法解二元一次方程组，本节课的重点内容就是解二元一次方程组的方法和技巧，注意选取正确的解题方法.
1.
下列哪组数是二元一次方程组的解(
)
A.
B.
C.
D.
2.解方程组：
3.
已知
是方程kx﹣y=3的解，那么k的值是（??
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
1.
已知关于x、y的方程组
的解是一对正数，求a的取值范围．
2.
解方程组：
3.
已知关于x
，
y的方程组
的解为
，求m，n的值．
1.
方程组的解x与y的和是2，则a＝______.
2.
甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2
013+(-b)2
014.
3.
已知方程组
与
的解相同，求a2+2ab+b2的值．
第
10讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
代入消元法
知识点2
加减消元法
知识点3
消元法的过程
知识点4
解方程组
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
