实际问题与二元一次方程组
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤；2.利用二元一次方程组解决实际问题的方法；3.注意计算结果符合实际意义.
教学目标
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题.2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性.
教学重点
能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系
教学难点
正确找出问题中的两个等量关系
【知识导图】
【教学建议】
对于二元一次方程组的应用问题，关键是由实际问题向数学问题的转化过程.所以在教学过程中注重分析问题的方法，让学生学会用数学建模的思想和方程的思想来解决问题.例题的选取也是从实际问题出发，让学生初步体会到数学与实际生活的密切联系.
1.二元一次方程组的概念
2.利用代入消元或者加减消元法解二元一次方程组
3.利用二元一次方程组解决实际问题
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
学会找到问题：
1.题中有哪些已知量？哪些未知量？
2.题中等量关系有哪些？
3.如何解这个应用题？
二元一次方程组解决问题一般步骤
利用二元一次方程组解决实际问题时，一般可分为以下五步：
1、审题、弄清题意及题目中的数量关系
2、设未知数，可直接设元，也可间接设元
3、列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组
4、解所列方程组，并考虑所得解是否符合问题的实际意义
5、写出答案.
加减消元法：
检验结果
解实际应用问题必须写“答”，并且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去.
“设”“答”两步，都要写清单位名称；
一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.
市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成.
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
【答案】
（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得
???解之得x=80.
经检验x=80是原方程的解.??
答：乙工程队单独做需要80天完成
??
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
所以
，
即
，又x<46，y<52
??
所以，
解之得42??
因为x、y均为正整数，所以x=45，y=50
答：甲队做了45天，乙队做了50天.
【解析】
根据已知条件建立等量关系解决问题，注意考虑实际意义.
某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
【答案】
设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得
，
解得：
．
答：设安排6人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．
【解析】根据已知条件找到工人和部件的对应关系进行列式计算.
已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴
或
或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；x
k
b
1
.
c
o
m
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）
方案二需租金：5×100+4×120=980（元）
方案三需租金：1×100+7×120=940（元）
∵1020＞980＞940
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
【解析】
根据已知条件找到等量关系解决问题，方案问题中结合不等式的知识解决问题，注意方案的合理性.
某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．
（1）求这两种商品的进价．
（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】
设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得
，
解得：．
答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得
，
解得：.
∵m为整数，
∴m=30，31，32，
故有三种进货方案：
方案1，甲种商品30件，乙商品70件，
方案2，甲种商品31件，乙商品69件，
方案3，甲种商品32件，乙商品68件，
设利润为W元，由题意，得
W=40m+50（100﹣m），
=﹣10m+5000
∵k=﹣10＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=30时，W最大=4700．
【解析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两个方程构成方程组求出其解既可以；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货方案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论．
1.
某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品，若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
2.某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
?技术
?投中（次）
?罚球得分
?个人总得分
?数据
?22
?10
?60
注：表中投中次数不包括罚球（只包括2分球和3分球）
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
答案与解析
1.【答案】
解：设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需y元，
由题意得，
，
解得，
，
答：购买一支钢笔需要16元，购买一本笔记本需10元.
【解析】分析题意，得出两个等量关系.
2.【答案】解：设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，
依题意得：
，
解得：
．
答：本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个．
1.
我校八年级实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则空出一间教室．问这个学校共有教室多少间？八年级共有多少人？
2.
长沙市某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人?
答案与解析
1.【答案】
解：设这个学校共有教室间，八年级共有人．
由题意得：，解这个方程组得：，
故这个学校共有教室21间，八年级共有480人．
【解析】本题中有两个等量关系：20×（间数+3）=总人数；24×（间数﹣1）=总人数，据此可列方程组求解．
2.【答案】
设甲班x人，乙班y人，由题意建立二元一次方程组：，解得：，∴甲班55人，乙班48人．
【解析】先设未知数，设甲班人数x人，乙班人数y人，由门票价格和甲乙班人数建立等量关系，∵人数乘以对应的门票价格是票价，∴当两个班合起来买团体票时的总价钱为5（x+y）=515，分开买时，是8x+10y=920，建立二元一次方程组求解．
1.
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.?相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.?这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
2.
假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：
(1)
出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)
小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
答案与解析
1.【答案】设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组
解这个方程组，得:
.
答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
【解析】有两个等量关系：
1
向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
2.【答案】(1)
解：设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．依题意得：
，解得：?
．
答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元；
(2)
解：?
+（5.5-1.5）×2=12.5（元）．
答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．
本节课主要讲解如何利用二元一次方程组解决实际问题，关键是根据已知条件找到等量关系，计算结果是否符合实际意义进行判断。注意解题技巧和方法.
1.
某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
2.
雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，则下列方程组正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
答案与解析
1.【答案】B.
【解析】题目中的两个等量关系式为：①甲、乙两种奖品共30件；②甲、乙两种奖品共花了400元．
2.【答案】D.
【解析】列方程时，可根据关系式：路程＝速度×时间．
1.
为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
2.
洗衣机的洗衣缸内可容纳洗衣水和衣服共20千克，已知放入的衣服重5千克，所需洗衣粉的浓度为0.4%，已放了两勺洗衣粉(每勺洗衣粉约重0.02千克)，问还需要加多少洗衣粉，添多少水？
答案与解析
1.【答案】解：设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组，得
解方程组，得
答：购进A纪念品每件100元，购进B纪念品每件50元．
2.【答案】解：设还需要加x千克水，添y千克洗衣粉，根据题意得，
解这个方程组得
答：还需要加0.02千克洗衣粉，添14.94千克水．
1.若干名游客要乘坐游船，要求每艘游船乘坐的人数相同．如果每艘游船乘坐12人，结果剩下1人未能上船；若有一艘游船空着开走，则所有游客正好能平均分坐到其余游船上．已知每艘游船最多能容纳15人．请你通过计算，说明游客共有多少人？
2.双营服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元，
(1)
求A，B两种型号的服装每件分别多少元？
(2)
若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案如何进货？
答案与解析
1.【答案】解：设起初有x艘游船，开走一艘空游船后，平均每艘游船乘坐游客y人．由题意，得：12x+1=y（x-1），即：，
∵
y是正整数，∴
为整数，又∵x为整数，∴
x-1=1或13，∴
x=2或x=14．当x=2时，y=25＞15不合题意，当x=14时，y=13．此时游客人数为13×13=169．答：游客共有169人．
2.
【答案】(1)解：设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得
解得
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元
(2)
解：设B型服装购进m件，则A型服装购进（2m+4）件．根据题意得
解不等式得9
≤m≤12
因为m这是正整数
所以m=10，11，12
2m+4=24，26，28
答：有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件.
第
11讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
解决问题
知识点2
检验结果
考点4
考点4
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思实际问题与二元一次方程组
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解方程组在实际问题中的应用
?
能借助方程组解决实际的简单问题
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤；2.利用二元一次方程组解决实际问题的方法；3.注意计算结果符合实际意义.
学习目标
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题.2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性.
学习重点
能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系
学习难点
正确找出问题中的两个等量关系
【知识导图】
1.二元一次方程组的概念
2.利用代入消元或者加减消元法解二元一次方程组
3.利用二元一次方程组解决实际问题
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
学会找到问题：
1.题中有哪些已知量？哪些未知量？
2.题中等量关系有哪些？
3.如何解这个应用题？
二元一次方程组解决问题一般步骤
利用二元一次方程组解决实际问题时，一般可分为以下五步：
1、审题、弄清题意及题目中的数量关系
2、设未知数，可直接设元，也可间接设元
3、列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组
4、解所列方程组，并考虑所得解是否符合问题的实际意义
5、写出答案.
加减消元法：
检验结果
解实际应用问题必须写“答”，并且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去.
“设”“答”两步，都要写清单位名称；
一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.
市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成.
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
??
某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．
（1）求这两种商品的进价．
（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？
1.
某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品，若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
2.某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
?技术
?投中（次）
?罚球得分
?个人总得分
?数据
?22
?10
?60
注：表中投中次数不包括罚球（只包括2分球和3分球）
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
1.
我校八年级实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则空出一间教室．问这个学校共有教室多少间？八年级共有多少人？
2.
长沙市某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人?
1.
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.?相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.?这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
2.
假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：
(1)
出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)
小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
本节课主要讲解如何利用二元一次方程组解决实际问题，关键是根据已知条件找到等量关系，计算结果是否符合实际意义进行判断。注意解题技巧和方法.
1.
某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
2.
雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，则下列方程组正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
1.
为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
2.
洗衣机的洗衣缸内可容纳洗衣水和衣服共20千克，已知放入的衣服重5千克，所需洗衣粉的浓度为0.4%，已放了两勺洗衣粉(每勺洗衣粉约重0.02千克)，问还需要加多少洗衣粉，添多少水？
1.若干名游客要乘坐游船，要求每艘游船乘坐的人数相同．如果每艘游船乘坐12人，结果剩下1人未能上船；若有一艘游船空着开走，则所有游客正好能平均分坐到其余游船上．已知每艘游船最多能容纳15人．请你通过计算，说明游客共有多少人？
2.双营服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元，
(1)
求A，B两种型号的服装每件分别多少元？
(2)
若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案如何进货？
第
11讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
解决问题
知识点2
检验结果
考点4
考点4
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
