不等式
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.一元一次不等式的概念及意义；2.不等式在数轴上的表示；3.不等式的性质和等式性质的区别和联系.
教学目标
1.掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同；2.能应用不等式的性质解一元一次不等式.
教学重点
不等式的性质以及应用.
教学难点
不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法；运用不等式的性质解不等式.
【知识导图】
【教学建议】
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表形式.它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是今后学生学习的基础.通过具体实例建立不等关系，探索不等式的性质，了解不等式的解集以及不等式的概念.
1.天平被调整到什么状态？
2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？
不等式的性质：
不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．
不等式基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不
变．即如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc
或ac＞bc
．
不等式基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc
或ac＜bc
．
(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．
(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．
(3)一定要注意不等式的性质3的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．
利用不等式的性质解简单的不等式
根据不等式的性质,我们可以对不等式进行适当的变形;解不等式就是利用不等式的性质把一个不等式变形为x＞a
或x＜a
的形式．
利用不等式的性质变形的步骤:
(1)
观察不等式变化前后的规律；
(2)
适当选择不等式的性质1、2、3；
(3)
根据选择的性质变形．在利用不等式的性质进行变形时,要特别注意不等号的方向是否改变．
不等式的性质与等式的性质的联系及区别．
联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．
区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．
若a＞b,用“＞”或“＜”填空:
(１)a－2
b－2;
(2)2a
2b;
(3)－2a
－2b
【答案】
(1)＞
(2)＞
(3)＜
【解析】
对照两边所产生的变化,正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键．
(1)
因为a＞b,根据不等式的性质1,不等式a＞b
的两边都减去2,
不等号的方
向不变,
所以a－2＞b－2．
(1)
因为a＞b,根据不等式的性质2,不等式a＞b
的两边都乘以2,
不等号的方
向不变,
所以2a＞2b．
(1)
因为a＞b,根据不等式的性质2,不等式a＞b
的两边都乘以－2,
不等号的方向改变,
所以－2a＜－2b
根据不等式的基本性质,
把下列不等式化成x＞a
或x＜a
的形式:
(1)x－2＜3;
(2)6x＞5x－1;
(3)－4x＞4．
【答案】
(1)
由不等式的性质1可知,
不等式的两边都加上2,不等号的方向不变,
所以x－2＋2＜3＋2,
即x＜5．
(2)
由不等式的性质1可知,不等式的两边都减去5x,
不等号的方向不变,
所以
6x－5x＞5x－1－5x,
即
x＞－1．
(3)
由不等式的性质3可知,
不等式的两边都除以－4,不等号的方向改变,
所
以x＜－1．
【解析】适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形,
注意不等号方向的“不变”与“改变”．
在a
克糖水中含有b
克糖(a＞b＞0),现再加入m
克糖,则糖水变得更甜了,这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式为
．
【答案】
(a＞b＞０,
m＞０)
【解析】糖水的甜和糖水的浓度有关;糖水的浓度＝糖的质量÷糖水的质量．此题分别表示出两次糖水的浓度,列出不等式即可．根据题意可知,原来糖水中糖所占百分比为,后来变为，
糖水之所以变甜,是因为糖所占的百分比变大了,
从而有
(a＞b＞0,
m＞0)．
1.小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,爸爸坐在跷跷板的一端,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,他们都不用力时,爸爸那端着地,已知爸爸的体重为70kg,妈妈的体重为50kg,那么小明的体重可能是( )．
A．18kg
B．22kg
C．28kg
D．30kg
2.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)
x＞1;
(2)x≥1;
(3)x＜－2;
(4)
x≤
-2．
3.若a(???
)
A．a－3＜b－3
B．＞
C．3a＞2b
D．3＋a＞3＋b
答案与解析
1.【答案】
A.
【解析】如果我们把这样一个问题抽象成数学问题,实际上就是妈妈和小明的
体重之和比爸爸的体重轻．设小明的体重为xkg,则x＋50＜70,在A、B、C、D四个选项中,能使不等式成立的只有选项A．
2.【答案】
【解析】
利用数轴表示不等式的解集.
3.【答案】A.
【解析】解:A、由不等式的性质1可知A正确.不等式的性质2可知B错误,
不符合不等式的基本性质,故C错误.先由不等式的性质3得到-a故选A.依据不等式的基本性质解答即可本题主要考查的是不等式的基本性质,掌握不等式的基本性质是解题的关键.
1.如果m )
A.
m－9B.
－m>－n
C.
D.
2.利用不等式的性质填“>”或“<”：
(1)若a>b，则2a____2b；
(2)若－2y<10，则y____－5；
(3)若a0，则ac－1____bc－1；
(4)若a>b，c<0，则ac＋1____bc＋1.
答案与解析
1.【答案】C.
【解析】
m＜n＜0，若设m=-2
n=-1验证
不成立.
2.【答案】(1)>
(2)>
(3)<
(4)<
【解析】利用不等式的性质解答.
1.
的一半与的差是负数，用不等式表示为（
）．
A.
B.
C.
D.
2.有一个两位数，个位上的数是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】列代数式表示a的一半与b的差，是负数即小于0.根据题意得.
2.【答案】根据题意，得
10a+b>10b+a.
10a-a>10b-b.
9a>9b.
a>b.
本节课主要认识了什么是不等式以及不等式的常见表示方法,
掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同．
1.k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示
k的取值范围是_____．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
2.不等式2x＞﹣3的解是（
??）
A．x＜
B．x＞
C．x＜
D．x＞
答案与解析
1.【答案】﹣1＜k≤3.
【解析】根据不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式得：-1＜k≤3．
2.【答案】B.
【解析】
根据不等式的性质二不等式两边除以2,就可以得出解集.
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A.
a﹣c＞b﹣c
B.
a+c＜b+c
C.
ac＞bc
D.
2.
不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有(??
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
解不等式
答案与解析
1.【答案】B．
【解析】由题意得：a＜b＜0＜c，
a－c＜b－c，故A选项错误；
a+c＜b+c，故B选项正确；
ac＜bc，故C选项错误；
＞，故D选项错误.
2.【答案】C.
【解析】
先求出不等式的解集,再确定不等式的非负整数解即可.
3.【答案】x>2
【解析】去分母，得5x-1-3x>3
移项、合并同类项，得2x>4
系数化为1，得x>2.
1.下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则a＞b
D．若＞，则a＞b
2.不等式|x﹣1|＜1的解集是（??
）
A．x＞2
B．x＜0
C．1＜x＜2
D．0＜x＜2
3.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（??
）
A．
B．a≤
C．≤a＜﹣1
D．a≥
答案与解析
1.【答案】C．
【解析】解:A、在不等式a>b的两边同时加上C,不等式仍成立,
即a+C>b+C,
故本选项错误.B、在不等式a+C>b+c的两边同时减去C,不等式仍成立,即a>b,故本选项错误.
C、当C=0时,若a>b,则不等式aC2>bC2不成立,故本选项正确.
D、在不等式ac2>bc2的两边同时除以不为0的c2,该不等式仍成立,即a>b,故本选项错误.
故选:C
2.【答案】
D.
【解析】解：①当x﹣1≥0，即x≥1时，原式可化为：x﹣1＜1，
解得：x＜2，
∴1≤x＜2；
②当x﹣1＜0，即x＜1时，原式可化为：1﹣x＜1，
解得：x＞0，
∴0＜x＜1，
综上，该不等式的解集是0＜x＜2，
故选：D．
3.【答案】C.
【解析】
先求出不等式组的解集,然后根据整数解是1,2,34得到关于a的不等式组,解不等式组即可求解.
注意要根据a的正负情况讨论.
第
13讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
不等式的性质
考点3
知识点2
解不等式的步骤
考点4
知识点3
等式和不等式的区别
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思不等式
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解不等式
?
掌握不等式的基本性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.一元一次不等式的概念及意义；2.不等式在数轴上的表示；3.不等式的性质和等式性质的区别和联系.
学习目标
1.掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同；2.能应用不等式的性质解一元一次不等式.
学习重点
不等式的性质以及应用.
学习难点
不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法；运用不等式的性质解不等式.
【知识导图】
1.天平被调整到什么状态？
2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？
不等式的性质：
不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．
不等式基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不
变．即如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc
或ac＞bc
．
不等式基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc
或ac＜bc
．
(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．
(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．
(3)一定要注意不等式的性质3的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．
利用不等式的性质解简单的不等式
根据不等式的性质,我们可以对不等式进行适当的变形;解不等式就是利用不等式的性质把一个不等式变形为x＞a
或x＜a
的形式．
利用不等式的性质变形的步骤:
(1)
观察不等式变化前后的规律；
(2)
适当选择不等式的性质1、2、3；
(3)
根据选择的性质变形．在利用不等式的性质进行变形时,要特别注意不等号的方向是否改变．
不等式的性质与等式的性质的联系及区别．
联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．
区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．
若a＞b,用“＞”或“＜”填空:
(１)a－2
b－2;
(2)2a
2b;
(3)－2a
－2b
根据不等式的基本性质,
把下列不等式化成x＞a
或x＜a
的形式:
(1)x－2＜3;
(2)6x＞5x－1;
(3)－4x＞4．
在a
克糖水中含有b
克糖(a＞b＞0),现再加入m
克糖,则糖水变得更甜了,这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式为
．
1.小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,爸爸坐在跷跷板的一端,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,他们都不用力时,爸爸那端着地,已知爸爸的体重为70kg,妈妈的体重为50kg,那么小明的体重可能是( )．
A．18kg
B．22kg
C．28kg
D．30kg
2.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)
x＞1;
(2)x≥1;
(3)x＜－2;
(4)
x≤
-2．
3.若a(???
)
A．a－3＜b－3
B．＞
C．3a＞2b
D．3＋a＞3＋b
1.如果m )
A.
m－9B.
－m>－n
C.
D.
2.利用不等式的性质填“>”或“<”：
(1)若a>b，则2a____2b；
(2)若－2y<10，则y____－5；
(3)若a0，则ac－1____bc－1；
(4)若a>b，c<0，则ac＋1____bc＋1.
1.
的一半与的差是负数，用不等式表示为（
）．
A.
B.
C.
D.
2.有一个两位数，个位上的数是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
本节课主要认识了什么是不等式以及不等式的常见表示方法,
掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同．
1.k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示
k的取值范围是_____．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
2.不等式2x＞﹣3的解是（
??）
A．x＜
B．x＞
C．x＜
D．x＞
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A.
a﹣c＞b﹣c
B.
a+c＜b+c
C.
ac＞bc
D.
2.
不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有(??
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
解不等式
1.下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则a＞b
D．若＞，则a＞b
2.不等式|x﹣1|＜1的解集是（??
）
A．x＞2
B．x＜0
C．1＜x＜2
D．0＜x＜2
3.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（??
）
A．
B．a≤
C．≤a＜﹣1
D．a≥
第
13讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
不等式的性质
考点3
知识点2
解不等式的步骤
考点4
知识点3
等式和不等式的区别
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
