一元一次不等式
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.一元一次不等式的定义，在数轴上表示一元一次不等式；2.运用不等式的性质解一元一次不等式；3.解一元一次不等式的时候注意符号的判断,从实际问题中抽象出数学模型.
教学目标
1.一元一次不等式组的解集和解法；2.灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.
教学重点
不等式的性质以及应用,寻找实际问题中的不等式关系，建立数学模型.
教学难点
运用不等式的性质解不等式，弄清列不等式解决实际问题的思想方法.
【知识导图】
【教学建议】
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表形式.它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是今后学生学习的基础.通过具体实例建立不等关系，探索不等式的性质，了解不等式的解集以及不等式的概念.
不等式的性质与等式的性质的联系及区别．
联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．
区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．
不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．
不等式基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．即如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc
或ac＞bc
．
不等式基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc
或ac＜bc
．
(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．
(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．
(3)一定要注意不等式的性质3的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．
解一元一次不等式的一般步骤
1.
去分母
2.
去括号
3.
移项
4.
合并同类项
5.
系数化为1
不等式在实际生活中的应用
根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法,但有的应用题中的数量是不等关系,我们可以仿照列方程的方法,根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解．
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2(1＋x)＜3;
(2)≥.
【答案】
解：(1)去括号，得
2＋2x＜3.
移项，得
2x＜3－2.
合并同类项，得
2x＜1.
系数化为1，得
x＜.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(2)去分母，得
3(2＋x)≥2(2x－1)．
去括号，得
6＋3x≥4x－2.
移项，得
3x－4x≥－2－6.
合并同类项，得
－x≥－8.
系数化为1，得
x≤8.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【解析】
依据解一元一次不等式的一般步骤,
要注意不等号的变号问题,
在数轴上表示出来解集.
根据不等式的基本性质,
把下列不等式化成x＞a
或x＜a
的形式:
(1)x－2＜3;
(2)6x＞5x－1;
(3)－4x＞4．
【答案】
(1)
由不等式的性质1可知,
不等式的两边都加上2,不等号的方向不变,
所以x－2＋2＜3＋2,
即x＜5．
(2)
由不等式的性质1可知,不等式的两边都减去5x,
不等号的方向不变,
所以
6x－5x＞5x－1－5x,
即
x＞－1．
(3)
由不等式的性质3可知,
不等式的两边都除以－4,不等号的方向改变,
所
以x＜－1．
【解析】适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形,
注意不等号方向的“不变”与“改变”．
去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
【答案】解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x，去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质良好，并且＞70%.
去分母，得
x＋219＞255.5.
移项，合并同类项，得
x＞36.5.
由x应为正整数，得
x≥37.
答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.
【解析】
“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即＞70%.
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
【答案】(1)
当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．
（2）当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，
因此到乙商场购物花费少．
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．
①若到甲商场购物花费少，则
50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．
解得 x＞150.
这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．
②若到乙商场购物花费少，则
50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．
解得 x＜150.
这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．
③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．
解得 x＝150.
这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．
【解析】
在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元．
1.下列变形中，不正确的是（ ）
A．由，可得
B．由，可是
C．由，可得
D．由，可得
2.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)
x＞1;
(2)x≥1;
(3)x＜－2;
(4)
x≤
-2．
3.不等式的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案与解析
1.【答案】C.
【解析】由不等式的性质解答．
2.【答案】
【解析】
利用数轴表示不等式的解集.
3.【答案】C.
【解析】根据解不等式的步骤进行计算.
1.不等式2x＞3﹣x的解集是（??
）
A．x＞3
B．x＜3
C．x＞1
D．x＜1
2.不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是（??
）
A．
B．
C．
D．
答案与解析
1.【答案】C.
【解析】
不等式2X>3-x移项得
2x+x>3
系数化1得x＞1.
故答案为:C.
2.【答案】D.
【解析】不等式移项,得2x≥5-3
合并同类项,
系数化1,得
包括1时,应用点表示,不能用空心的圆圈,表示1这一点.
故答案为:D
1.
关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（
）
A.0
B.-3
C.-2
D.-1
2.
解关于x的不等式ax-5>3x+6
2.
小华家距离学校千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】不等式2x-a≤-1的解集为，数轴上所表示的解集为x≤-1，
所以，解得a=-1,故应选D.
2.【答案】（1）当a-3>0,时系数化为1，得
(2)当a-3<0,时，
（3）当a-3=0时，不等式无解.
3.【答案】千米／时
在本节课的学习中，重点是利用一元一次不等式的性质进行不等式的计算，同时注意符号的变化问题.一元一次不等式组的解集和解法,
灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是(??
)
A．2x-1＞0
B．-1＜2
C．3x-2y≤-1
D．
2.
不等式2x＞﹣3的解是（
??）
A．x＜
B．x＞
C．x＜
D．x＞
答案与解析
1.【答案】A.
【解析】解:A、是一元一次不等式
B、不含未知数,不符合定义
C、含有两个未知数,不符合定义
D、未知数的次数是2,不符合定义
2.【答案】B.
【解析】
根据不等式的性质二不等式两边除以2,就可以得出解集.
1.不等式2x-4≤0的解集在数轴上表示为（??
）
A．
B．
C．
D．
2.
不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有(??
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
解不等式
答案与解析
1.【答案】B．
【解析】解将不等式2X-4≤0移项
可得:2x≤4
将其系数化为1,可得x≤2.
X≤2解集包括2时,在数轴上应该用实心圆来表示,方向向左
故B符合题意.
2.【答案】C.
【解析】
先求出不等式的解集,再确定不等式的非负整数解即可.
3.【答案】x>2
【解析】去分母，得5x-1-3x>3
移项、合并同类项，得2x>4
系数化为1，得x>2.
1.下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则a＞b
D．若a＞b，则a＞b
2.不等式|x﹣1|＜1的解集是（??
）
A．x＞2
B．x＜0
C．1＜x＜2
D．0＜x＜2
3.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（??
）
A．
B．a≤
C．≤a＜﹣1
D．a≥
答案与解析
1.【答案】C．
【解析】解:A、在不等式a>b的两边同时加上C,不等式仍成立,
即a+C>b+C,
故本选项错误.B、在不等式a+C>b+c的两边同时减去C,不等式仍成立,即a>b,故本选项错误.
C、当C=0时,若a>b,则不等式aC2>bC2不成立,故本选项正确.
D、在不等式ac2>bc2的两边同时除以不为0的c2,该不等式仍成立,即a>b,故本选项错误.
故选:C
2.【答案】
D.
【解析】解：①当x﹣1≥0，即x≥1时，原式可化为：x﹣1＜1，
解得：x＜2，
∴1≤x＜2；
②当x﹣1＜0，即x＜1时，原式可化为：1﹣x＜1，
解得：x＞0，
∴0＜x＜1，
综上，该不等式的解集是0＜x＜2，
故选：D．
3.【答案】C.
【解析】
先求出不等式组的解集,然后根据整数解是1,2,34得到关于a的不等式组,解不等式组即可求解.
注意要根据a的正负情况讨论.
第
14讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
不等式的性质
知识点2
解不等式步骤
考点4
考点4
知识点3
生活中的应用
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
-1
0
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
七．教学反思一元一次不等式
通过对本节课的学习，你能够：
?
了解一元一次不等式的概念
?
会求解一元一次不等式
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.一元一次不等式的定义，在数轴上表示一元一次不等式；2.运用不等式的性质解一元一次不等式；3.解一元一次不等式的时候注意符号的判断,从实际问题中抽象出数学模型.
学习目标
1.一元一次不等式组的解集和解法；2.灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.
学习重点
不等式的性质以及应用,寻找实际问题中的不等式关系，建立数学模型.
学习难点
运用不等式的性质解不等式，弄清列不等式解决实际问题的思想方法.
【知识导图】
不等式的性质与等式的性质的联系及区别．
联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．
区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．
不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．
不等式基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．即如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc
或ac＞bc
．
不等式基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc
或ac＜bc
．
(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．
(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．
(3)一定要注意不等式的性质3的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．
解一元一次不等式的一般步骤
1.
去分母
2.
去括号
3.
移项
4.
合并同类项
5.
系数化为1
不等式在实际生活中的应用
根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法,但有的应用题中的数量是不等关系,我们可以仿照列方程的方法,根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解．
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2(1＋x)＜3;
(2)≥.
根据不等式的基本性质,
把下列不等式化成x＞a
或x＜a
的形式:
(1)x－2＜3;
(2)6x＞5x－1;
(3)－4x＞4．
去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
1.下列变形中，不正确的是（ ）
A．由，可得
B．由，可是
C．由，可得
D．由，可得
2.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)
x＞1;
(2)x≥1;
(3)x＜－2;
(4)
x≤
-2．
3.不等式的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
1.不等式2x＞3﹣x的解集是（??
）
A．x＞3
B．x＜3
C．x＞1
D．x＜1
2.不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是（??
）
A．
B．
C．
D．
1.
关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（
）
A.0
B.-3
C.-2
D.-1
2.
解关于x的不等式ax-5>3x+6
2.
小华家距离学校千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？
在本节课的学习中，重点是利用一元一次不等式的性质进行不等式的计算，同时注意符号的变化问题.一元一次不等式组的解集和解法,
灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是(??
)
A．2x-1＞0
B．-1＜2
C．3x-2y≤-1
D．
2.
不等式2x＞﹣3的解是（
??）
A．x＜
B．x＞
C．x＜
D．x＞
1.不等式2x-4≤0的解集在数轴上表示为（??
）
A．
B．
C．
D．
2.
不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有(??
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
解不等式
1.下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则a＞b
D．若a＞b，则a＞b
2.不等式|x﹣1|＜1的解集是（??
）
A．x＞2
B．x＜0
C．1＜x＜2
D．0＜x＜2
3.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（??
）
A．
B．a≤
C．≤a＜﹣1
D．a≥
第
14讲
讲
概述
教学过程
一、课堂导入
二、知识讲解
知识点1
不等式的性质
知识点2
解不等式步骤
考点4
考点4
知识点3
生活中的应用
三、例题精析
四、例题精析
例题1
例题2
例题3
例题4
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
巩固
拔高
-1
0
五．课堂小结
六．拓展延伸
基础
巩固
拔高
