(共20张PPT)
4.2
一次函数与正比例函数
北师大版
八年级上
新知导入
1、什么叫做函数？
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.
2、函数有哪些表示方法？
图像法、列表法、关系式法
新知导入
1、某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。
（1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：
x
/kg
1
2
3
4
5
……
y
/cm
……
3.5
4
4.5
5
5.5
新知讲解
y=3+0.5x
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
分析：所挂物体的质量x(kg)是自变量，弹簧的长度y(cm)是x的函数，它们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
新知讲解
2、某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。
（1）完成下表：
汽车行驶路程
x
/km
0
50
100
150
200
300
耗油量
y
/L
0
6
12
18
24
36
y=x
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系
式吗？
z=60-0.12x
新知讲解
问题：观察上面三个关系式，有什么共同之处？
y=3+0.5x
y=x
z=60-0.12x
共同点：1、因变量和自变量的次数都为1；
2、因变量单独在等号左边；
3、等号两边都是整式。
新知讲解
若两个变量x，y间的关系可以表示成ｙ＝kx＋b（k，b为常数，k≠０）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数.
一般形式
一次函数
正比例函数
新知讲解
思考：正比例函数一定是一次函数吗?
一次函数
正比例函数
新知讲解
例1
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
y
=60x
是正比例函数，也是一次函数.
（2）圆的面积y
(cm2
)与它的半径x
(cm)之间的关系.
x的次数为2，所以y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
y=πx2
新知讲解
（3）某水池里有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为
5m3
/h，x
小时后这个水池内有水ym3
.
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
y
=
5x+15
新知讲解
例2
我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
新知讲解
解:(1)当月收入大于3500元而小于5000元时,
y=(x－3500)×3%,
即y=0.03x－105；
(2)当x=4160时,
y=0.03×4160－105=19.8(元)；
(3)因为(5000－3500)×3%=45(元)，
19.2<45，
所以此人本月工资、薪金收入低于5000元.
设此人本月工资、薪金收入是x元，则
19.2=0.03x－105；
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
课堂练习
1、下列函数中，是一次函数的是( )．
A．y＝7x2
B．y＝x－9
C．y＝
D．y＝
2、下列函数中，既是一次函数，又是正比例函数的是（
）
A.y=-3x?-1
B.y=2x-1
C.y=
D.y=-2x
3、若y=m是一次函数，则m的值为（
）
A.0
B.-1
C.0或-1
D.±1
B
D
B
课堂练习
4、已知函数y=（k-1）x+k?-1，当k
时，它是一次函数。
5、若关于x的函数y=（n+1）
是一次函数，m=
，
n
.
6、从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，32分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t之间的函数关系式是
.
≠1
≠-1
2
y=t-0.6（t≥3）
拓展提高
已知y与x－3成正比例，且当x＝4时y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
解
(1)
∵
y与x－3成正比例,
∴设y＝k(x－3)．
又∵x＝4时，y＝3，
∴3＝
k(4－3)，解得k＝3，
∴
y＝3(x－3)＝3x－9．
(2)
y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5-9＝-1.5．
课堂总结
一般形式
一次函数
正比例函数
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数、正比例函数定义及一般形式
板书设计
课题：4.2
一次函数与正比例函数
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、一次函数、正比例函数定义
二、一次函数、正比例函数的一般形式
作业布置
教材82页习题第3、4题。
谢谢
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北师大版数学八年级上册4.2一次函数与正比例函数导学案
课题
4.2
一次函数与正比例函数
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能目标：
1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合。
2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
过程与方法目标：
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标：
1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
重点
难点
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1、表示函数的关系的方法有：
、
、
。
2、在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示不能用图像表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图像法表示，其中正确的（
）
A.①②⑤
B.
①②④
C.
①③⑤
D.
①④⑤
合
作
探
究
探究1：
某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg012345y/cm
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
探究2：某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km050100150200300油箱剩余汽油量y/L
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?
归纳：
1、一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).特别地,当时,则是的正比例函数.
注意：①
；
②
；
③
；
2、当
时，
就变成了
，则称y是x的
，
是一种特殊的一次函数
探究3：写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；
圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；
(3)某水池里有水15m3
，现打开进水管进水，进水速度为5m3
/h，x
小时后这个水池内有水ym3
.
探究4：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
当
堂
检
测
1.
函数，当时，的值是（
）
A、1
B、0
C、－1
D、－5
2.
甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是
，s是t的
函数.
3.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0<
y
<10,则x的取值范围为_____.
(2)若-6<
x
<10,则y的取值范围为
。
4.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数；
(2)此函数为正比例函数.
课
堂
小
结
一次函数、正比例函数定义及一般形式
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
参考答案
自主学习：
1、图像法、列表法、关系式法
2、A
合作探究：
探究1
(1)
3、3.5、4、4.5、5、5.5
；
(2)
.
探究2
(1)
100、91、82、73、64、46；
(2)
x与y之间的关系式为
；
(3)
汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.
归纳：1.注意：①≠0
②x的次数为1
③常数k可以取任意实数
2.b=0;
y=kx+b;
y=kx;
正比例函数;
正比例函数
探究3
（1）由路程=速度×时间,得,是的一次函数,也是的正比例函数；
（2）由圆的面积公式,得,不是的一次函数,也不是的正比例函数；
（3）y
=
5x+15，形如y=kx+b，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
探究4
解：（1）y=(x－3500)×3%,
即y=0.03x－105；
（2）当x=4160时,
y=0.03×4160－105=19.8(元)；
（3）因为(5000－3500)×3%=45(元)
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。
设此人本月工资、薪金收入是x元，则
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
当堂检测：
C；
；一次；
（1）04、解:(1)由题意得，
k
=
2-m≠0,
m≠2,所以m≠2时,
此函数为一次函数.
(2)由题意,
k
=
2-m≠0,
解得，m≠2，
又因为b
=
2m-3=
0,
解得，m=
所以当
m=
时,函数为正比例函数y=
x.
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精品试卷·第
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