3.2 一定是直角三角形吗同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2 一定是直角三角形吗同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-27 16:03:42 | ||
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文档简介
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第三章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
夯实基础
知识点一 直角三角形的判定
1.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，7.5，8 C. 2，3，4 D. 1，2，3
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为1:2:3 B. 三边长的平方之比9:25:16
C. 三边长之比为3:4:5 D. 三内角之比为3:4:5
3.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD，EF，GH B. AB，EF，GH
C. AB，CD，GH D. EF，AB，CD
4.古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24 cm的绳子，请你利用它拉出一个周长为24 cm的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为________cm，
__________cm，__________cm.
知识点二 勾股数
8，15与下列各数中可以组成一组勾股数的是（ ）
6 B. 10 C. 17 D. 20
6.观察下列勾股数组:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c，你能发现什么规律？根据你发现的规律，回答下列问题:
（1）当a＝19时，则b，c的值是多少？
（2）当a＝2n＋1时，求b，c的值.你能证明所发现的规律吗？
易错点 忽视勾股数是正整数这一条件
7.下列各组数为勾股数的是___________。
①6，8，10；②7，8，10；③，，1
能力提升
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（ ）
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.△ABC不是直角三角形
9.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7
10.大家见过形如x＋y＝z这样的三元一次方程，并且知道，就是适合该方程的一个正整数解.法国数学家费马早在17世纪还研究过形如x2＋y2＝z2的方程.请你写出方程x2＋y2＝z2的一组正整数解:。
11.三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为___________。
12.如图，已知△ABC的三边长之比为3:4:5，且AC＜BC＜AB，周长为72cm，求它的面积。
13.某经济开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝4 m，AD＝12 m，CD＝13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
14.如图，在△ABC中，AB＝41 cm，BC＝18 cm，BC边上的中线AD＝40 cm，则△ABC是等腰三角形吗？为什么？
15.如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6，求∠ACD的度数。
素养提升
16.刘老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示
a＝__________，b＝__________，c＝_________。
（2）猜想:以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
参考答案
D 2. D 3. B
6 8 10 5. C
6.解:（1）当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1.
观察有如下规律:192＋k2＝（k＋1）2，解得k＝180。
故当a＝19时，b＝180，c＝181.
（2）当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，
根据勾股定理:
a2＋b2＝c2得（2n＋1）2＋k2＝（k＋1）2，解得k＝2n（n＋1）.
即b＝2n（n＋1），c＝2n（n＋1）＋1.
证明如下:
a2＋b2＝（2n＋1）2＋［2n（n＋1）］2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
［2n（n＋1）＋1］2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
所以a2＋b2＝c2
所以a，b，c组成的三角形是直角三角形.
7. ① 8. A 9. C 10. 答案不唯一，根据勾股数构造即可。 11. 8
12.解:设三边长分别为3x cm，4x cm，5x cm.
因为（3x）2＋（4x）2＝（5x）2，所以AC2＋BC2＝AB2.所以∠C＝90°。
因为周长为72 cm，所以3x＋4x＋5x＝72，解得x＝6.所以3x＝18，4x＝24.所以它的面积为×18×24＝216（cm2）.
13.解:如图，连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝9＋16＝25.
所以AC＝5.
因为52＋122＝132，即AC2＋AD2＝CD2，所以△ADC是直角三角形
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×4×3＋×5×12＝36（m2）。
所以总共需要投入36×100＝3600（元）.
14.解:△ABC是等腰三角形，理由如下:
因为BC＝18 cm，BC边上的中线为AD，所以BD＝CD＝9 cm。
因为AB＝41 cm，BD＝9 cm，AD＝40 cm，所以AB2＝1681，BD2＋AD2＝1681。
所以AB2＝BD2＋AD2。所以AD⊥BC.
又因为BD＝CD，所以AC＝AB，所以△ABC是等腰三角形。
15.解:因为∠A＝90°，AC＝AB＝4，所以∠ACB＝∠ABC＝45°。
在Rt△ABC中，因为AC＝AB＝4，所以BC2＝AC2＋AB2＝32.
又因为CD＝2，BD＝6，所以CD2＋BC2＝4＋32＝36，BD2＝36。
所以CD2＋BC2＝BD2所以∠BCD＝90°。所以∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°。
16.解:（1）n2－1 2n n2＋1
（2）猜想:以a，b，c为边的三角形是直角三角形.证明如下:
因为a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，
所以a2＋b2＝（n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2.
因为c2＝（n2＋1）2，所以a2＋b2＝c2.
所以以a，b，c为边的三角形是直角三角形。
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第三章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
夯实基础
知识点一 直角三角形的判定
1.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，7.5，8 C. 2，3，4 D. 1，2，3
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为1:2:3 B. 三边长的平方之比9:25:16
C. 三边长之比为3:4:5 D. 三内角之比为3:4:5
3.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD，EF，GH B. AB，EF，GH
C. AB，CD，GH D. EF，AB，CD
4.古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24 cm的绳子，请你利用它拉出一个周长为24 cm的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为________cm，
__________cm，__________cm.
知识点二 勾股数
8，15与下列各数中可以组成一组勾股数的是（ ）
6 B. 10 C. 17 D. 20
6.观察下列勾股数组:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c，你能发现什么规律？根据你发现的规律，回答下列问题:
（1）当a＝19时，则b，c的值是多少？
（2）当a＝2n＋1时，求b，c的值.你能证明所发现的规律吗？
易错点 忽视勾股数是正整数这一条件
7.下列各组数为勾股数的是___________。
①6，8，10；②7，8，10；③，，1
能力提升
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（ ）
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.△ABC不是直角三角形
9.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7
10.大家见过形如x＋y＝z这样的三元一次方程，并且知道，就是适合该方程的一个正整数解.法国数学家费马早在17世纪还研究过形如x2＋y2＝z2的方程.请你写出方程x2＋y2＝z2的一组正整数解:。
11.三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为___________。
12.如图，已知△ABC的三边长之比为3:4:5，且AC＜BC＜AB，周长为72cm，求它的面积。
13.某经济开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝4 m，AD＝12 m，CD＝13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
14.如图，在△ABC中，AB＝41 cm，BC＝18 cm，BC边上的中线AD＝40 cm，则△ABC是等腰三角形吗？为什么？
15.如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6，求∠ACD的度数。
素养提升
16.刘老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示
a＝__________，b＝__________，c＝_________。
（2）猜想:以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
参考答案
D 2. D 3. B
6 8 10 5. C
6.解:（1）当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1.
观察有如下规律:192＋k2＝（k＋1）2，解得k＝180。
故当a＝19时，b＝180，c＝181.
（2）当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，
根据勾股定理:
a2＋b2＝c2得（2n＋1）2＋k2＝（k＋1）2，解得k＝2n（n＋1）.
即b＝2n（n＋1），c＝2n（n＋1）＋1.
证明如下:
a2＋b2＝（2n＋1）2＋［2n（n＋1）］2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
［2n（n＋1）＋1］2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
所以a2＋b2＝c2
所以a，b，c组成的三角形是直角三角形.
7. ① 8. A 9. C 10. 答案不唯一，根据勾股数构造即可。 11. 8
12.解:设三边长分别为3x cm，4x cm，5x cm.
因为（3x）2＋（4x）2＝（5x）2，所以AC2＋BC2＝AB2.所以∠C＝90°。
因为周长为72 cm，所以3x＋4x＋5x＝72，解得x＝6.所以3x＝18，4x＝24.所以它的面积为×18×24＝216（cm2）.
13.解:如图，连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝9＋16＝25.
所以AC＝5.
因为52＋122＝132，即AC2＋AD2＝CD2，所以△ADC是直角三角形
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×4×3＋×5×12＝36（m2）。
所以总共需要投入36×100＝3600（元）.
14.解:△ABC是等腰三角形，理由如下:
因为BC＝18 cm，BC边上的中线为AD，所以BD＝CD＝9 cm。
因为AB＝41 cm，BD＝9 cm，AD＝40 cm，所以AB2＝1681，BD2＋AD2＝1681。
所以AB2＝BD2＋AD2。所以AD⊥BC.
又因为BD＝CD，所以AC＝AB，所以△ABC是等腰三角形。
15.解:因为∠A＝90°，AC＝AB＝4，所以∠ACB＝∠ABC＝45°。
在Rt△ABC中，因为AC＝AB＝4，所以BC2＝AC2＋AB2＝32.
又因为CD＝2，BD＝6，所以CD2＋BC2＝4＋32＝36，BD2＝36。
所以CD2＋BC2＝BD2所以∠BCD＝90°。所以∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°。
16.解:（1）n2－1 2n n2＋1
（2）猜想:以a，b，c为边的三角形是直角三角形.证明如下:
因为a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，
所以a2＋b2＝（n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2.
因为c2＝（n2＋1）2，所以a2＋b2＝c2.
所以以a，b，c为边的三角形是直角三角形。
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