第25章
锐角的三角比
单元测试
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题（共6小题）
1.等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．
[]
2.锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
3.cos60°﹣sin30°+tan45°的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是i＝（ ）
A．
B．1：3
C．
D．1：2
6.如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD，王同学利用测倾器在斜坡的底部A处测得条幅底部D的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，AE＝12米（点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD的长度约为（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）（ ）
[]
A．12.5米
B．12.8米
C．13.1米
D．13.4米
二、填空题（共12小题）
7.计算：|2﹣|﹣2sin30°﹣（π﹣3）0＝ ﹣ ．
8.在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则cosA＝ ．
9.化简：﹣2＝ ．[]
10.如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米，则高度AB为 米．
11.锐角α满足cosα＝0.5，则α＝ ．
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝10，那么∠B＝ ．
13.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1：2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为 m．
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，若cosA＝，则BC的长为 ．
15.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，则BC的长为 ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是 ．
17.如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα＝．那么m＝ ．
18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝ ．
三、解答题（共7小题）
19.计算：+（）0+?sin45°﹣（π﹣2019）0．
20.计算：
21.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．[]
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，sinA＝，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求BD的长；
（2）设＝，＝，用、表示．
[]
24.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．（参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97）
25.某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面AB的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．第25章
锐角的三角比
单元测试
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题（共6小题）
1.等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【解答】解：原式＝2×+
＝+
＝2．
故选：A．
【知识点】特殊角的三角函数值
2.锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
【解答】解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【知识点】特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性
3.cos60°﹣sin30°+tan45°的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【解答】解：原式＝﹣+1
＝1．
故选：C．
【知识点】特殊角的三角函数值
4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∴cosB＝＝．
故选：B．
【知识点】锐角三角函数的定义
5.某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是i＝（ ）
A．
B．1：3
C．
D．1：2
【解答】解：由题意得：某人在斜坡上走了50米，上升的高度为25米，
则某人走的水平距离s＝＝25，
∴坡度i＝25：25＝1：．
故选：A．
【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
6.如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD，王同学利用测倾器在斜坡的底部A处测得条幅底部D的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，AE＝12米（点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD的长度约为（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）（ ）
A．12.5米
B．12.8米
C．13.1米
D．13.4米
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，AB＝13米，
∴BF＝5（米），AF＝12（米），
∴BG＝AF+AE＝24（米），
Rt△BGC中，∠CBG＝50°，
∴CG＝BG?tan50°≈24×1.19＝28.56（米），
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝12米，
∴DE＝AE＝12m，
∴CD＝CG+GE﹣DE＝28.56+5﹣12≈12.8（米）
故选：B．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
二、填空题（共12小题）
7.计算：|2﹣|﹣2sin30°﹣（π﹣3）0＝ ﹣ ．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣2×﹣1
＝2﹣2﹣1﹣1
＝2﹣4．
故答案为：2﹣4．
【知识点】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值
8.在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则cosA＝ ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝＝，
∴cosA＝＝，
故答案为：．
【知识点】锐角三角函数的定义
9.化简：﹣2＝ ．
【解答】解：原式＝﹣2×（1﹣）
＝1﹣1
＝0．
故答案为：0．
【知识点】特殊角的三角函数值
10.如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米，则高度AB为 米．
【解答】解：∵迎水坡AC的坡度i＝1：2，
∴＝，即＝，
解得，AC＝60，
由勾股定理得，AB＝＝＝30，
故答案为：30．
【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
11.锐角α满足cosα＝0.5，则α＝ ．
【解答】解：∵cosα＝0.5＝，α为锐角，
∴α＝60°，
故答案为：60°．
【知识点】特殊角的三角函数值
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝10，那么∠B＝ ．
【解答】解：如图所示：
cosB＝＝＝，
故∠B＝30°．
故答案为：30°．
【知识点】特殊角的三角函数值
13.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i＝1：2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为 m．
【解答】解：∵斜坡的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∴AC＝75（m），
故答案为：75．
【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，若cosA＝，则BC的长为 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，cosA＝，
∴cosA＝＝，
∴AB＝5，
则BC的长为：＝4．
故答案为：4．
【知识点】锐角三角函数的定义
15.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，则BC的长为 ．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2，
故答案为：2．
【知识点】解直角三角形
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是 ．
【解答】解：延长BG交AC于H．
∵G是△ABC的重心，
∴AH＝AC＝＝2，
∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝，
∴，
∴AB＝6，
由勾股定理得：BH＝＝＝2，
∵∵G是△ABC的重心，
∴BG＝2GH，
∴BG＝＝；
故答案为：．[]
【知识点】锐角三角函数的定义、三角形的重心
17.如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα＝．那么m＝ ．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．
∵A（2，m），
∴OE＝2，AE＝m，
∵tanα＝＝，
∴＝，
∴m＝3，
故答案为3．
【知识点】坐标与图形性质、解直角三角形
18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝ ．
【解答】解：如图，DE与BG交于点O，
∵正方形DEFG，
∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90°，GF＝DE＝EF，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴，
∵∠DOG＝∠EOB，
∴△DOG∽△EOB∽△FGB，
∴，
∴tan∠DGB＝．
故答案为：
[]
【知识点】解直角三角形、正方形的性质
三、解答题（共7小题）
19.计算：+（）0+?sin45°﹣（π﹣2019）0．
【解答】解：原式＝3+1+×﹣1
＝4+1﹣1
＝4．
【知识点】特殊角的三角函数值、实数的运算、零指数幂
20.计算：
【解答】解：原式＝2×﹣3+1﹣9
＝1﹣3+1﹣9
＝﹣10．
【知识点】零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算
21.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝5，cosC＝，
∴CD＝AC?cosC＝3，
∴AD＝＝4．
（2）∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝4，
∴S△ABC＝AD?BC＝×4×（4+3）＝14．
【知识点】勾股定理、解直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
【知识点】解直角三角形、勾股定理
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，sinA＝，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求BD的长；
（2）设＝，＝，用、表示．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∴CD＝AC?sinA＝20×＝12，
∴AD＝＝＝16，
∴tanA＝＝，
∵∠ACB＝90°，[]
∴∠DCB+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A．
∴BD＝CD?tan∠DCB＝CD?tanA＝12×＝9．
（2）∵AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴＝，[]
又∵＝+＝﹣，
∴＝＝﹣．
【知识点】
平面向量、解直角三角形
24.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．（参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97）
【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，
由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，
则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，
∵tan∠BQD＝，
∴tan14°＝，
即0.25＝，
解得ED＝18，
∴AC＝ED＝18，
∵BC＝7.5，
∴tan∠BAC＝＝，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，
∴AB＝＝19.5（米）．
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
25.某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面AB的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．
【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，
∴BC＝4×2＝8m．
∴AB＝＝＝（米）；
（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠HBM，
∴，
∵DG＝EF＝2m，
∴GM＝1m，
∴DM＝，BM＝BF+FM＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，
设MH＝xm，则BH＝2xm，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x＝m，
∴DH＝＝m．
【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
