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2020-2021学年第一学期九年级上册期中测试题
数学试题
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．0
2．已知，则锐角的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3．如图：已知，且，则（
）
A．5
B．3
C．3.
2
D．4
4．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．下列条件中，能使成立的是（
）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC
＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH
＝3.5
6．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分)
7．计算：
（_____________________）
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
9．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是______厘米．
10．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．
11．如果在比例尺为1：1
000
000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4cm，那么A、B两地的实际距离是____km．
12．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.
13．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________.
14．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果，，那么向量=______（结果用、表示）．
15．如图，已知在中，点分别是边上的点，交于点，如果那么_________
．
16．如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
17．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
3、解答题(本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，共78分)
19．计算：
20．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
21．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．
（1）求传送带AB的长度；
（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）
22．如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
23．如图，矩形中，点、分别在边、上，且，，交于，设，．
（1）用、表示： ；
（2）在原图中作出向量分别在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．在方向上的分向量是 ；在方向上的分向量是 ．
24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC
∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
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精品试卷·第
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2020-2021学年第一学期九年级上册期中测试题
数学试题
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】
解：设，
∴a=2k，b=3k，
∴==0，
故选D.
2．已知，则锐角的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵，锐角的余弦值随角度的增大而减小，
∴，
故选：D．
3．如图：已知，且，则（
）
A．5
B．3
C．3.
2
D．4
【答案】C
【解析】
解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故选C
4．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根据∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m．
5．下列条件中，能使成立的是（
）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC
＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH
＝3.5
【答案】D
【解析】
A、若△ABC~△DEF，则，故本选项错误；
B、若△ABC~△DEE，则而≠，故本选项错误；
C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项错误；
D、且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；
所以D选项是正确的.
6．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
分析：
①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB；
②由，又AD∥BC，所以，故可得CF=2AE；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，得出，进而得出；
⑤由AE∥BC，推出，设S△AEF=S△DEF=m，推出S△ABF=2m，S△BFC=4m，S矩形ABCD=12m，S矩形BCDF=8m，推出S△ABF：S四边形BCDF=1：4，故⑤正确
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有，即，
所以，b=，
∴，故④错误；
，
，
设，
，，，，
故⑤正确；
故选：D．
二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分)
7．计算：
（_____________________）
【答案】
【解析】
=
故答案为：
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
【答案】4
【解析】
∵∠C=90°，AB=6，
∴，
∴BC=4.
9．已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是______厘米．
【答案】－1
【解析】
试题分析：因为点D是线段AB的黄金分割点，切BD＜AD
所以
因为AD的长为2厘米
所以代入解得
10．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．
【答案】2：5
【解析】
解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G,
∵AG∥BC
∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE．
∴
,．
∵．
∴．
∵点是的中点．
∴BE=EC．
∴．
∴．
即:=2：5．
故答案为：2：5
11．如果在比例尺为1：1
000
000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4cm，那么A、B两地的实际距离是____km．
【答案】34
【解析】
根据题意,厘米=34千米.
即实际距离是34千米.
故答案为:34.
12．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.
【答案】7
【解析】
设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
13．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________.
【答案】9
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴，
即；
解得AB=9．
故答案为9．
14．已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果，，那么向量=______（结果用、表示）．
【答案】
【解析】
∵M、N是△ABC的边AB和AC的中点，，，
∴
，
.
∵
，
∴
.
15．如图，已知在中，点分别是边上的点，交于点，如果那么_________
．
【答案】3:8
【解析】
∵
∴且
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：3:8．
16．如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
【答案】6
【解析】
∵AB=AC，
∴∠C
＝∠ABC
，
又∵AD
⊥BC于
D
点，
∴
BD=DC=BC，
又
DE
⊥AB，BF
⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm
，
故答案为：6.
17．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．
【答案】
【解析】
由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为.
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②④．
【解析】
分析：
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断.
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴＝，
∴＝＝＝，
而＝＝2，
∴≠，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH，所以②正确．
故答案是：①②④．
3、解答题(本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，共78分)
19．计算：
【答案】
【解析】
原式=
=
=
20．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．
∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．
∴
∵，∴．
21．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．
（1）求传送带AB的长度；
（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）
【答案】（1）3米；（2）4.5米.
【解析】
（1）在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=37°，BD=1.8米，
∴AB=≈=3（米）．
答：传送带AB的长度约为3米；
（2）∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米，斜坡EF的坡度i=1：2，
∴，
∴DE=2DF=4米，
∴EF==2≈4.5（米）．
答：改造后传送带EF的长度约为4.5米．
22．如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
分析：
（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝EC，推出∠EDC＝∠ECD，求出∠FDC＝∠B，根据∠F＝∠F，证△FBD∽△FDC即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．
（1）证明：，，
是的中点，，，
，，
，，
，，
，，
.
（2），，，
，
，
.
23．如图，矩形中，点、分别在边、上，且，，交于，设，．
（1）用、表示： ；
（2）在原图中作出向量分别在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．在方向上的分向量是 ；在方向上的分向量是 ．
【答案】（1）;（2），．
【解析】
（1），
，
，，
，，
，
．
（2）作FH⊥BC交BC于点H，如图所示：
向量分别在、方向上的分向量分别为，．
24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
．
【解析】
（1）证明：四边形是菱形，
，，，
又是公共边，
，
，，
由得，，
，
又
，∴PA：PF=PE：PA，
．
（2），，
，
，
，
，
又，
．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC
∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【答案】（1）=；（2）结论：AC2＝AG?AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为或2或8﹣4．.
【解析】
分析：
（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；
（2）结论：AC2=AG?AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题.
解：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG?AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
∴，
∴AC2＝AG?AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝?AH?AG＝AC2＝×（4）2＝16．
∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴,
∴AE＝AB＝．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．
在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EMm，
∴m+m＝4，
∴m＝4（﹣1），
∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．
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